Если подставить теперь (32) в третью группу соотношений (7), то
найдем оставшиеся напряжения первого приближения:
σ
(1)
IJ
=
C
(0)
IJKL
ε
(1)
KL
+
N
(0)
IJKLM
ε
(0)
KL,M
;
N
(0)
IJKLM
=
−
C
IJk
3
C
−
1
k
3
P
3
ξ
−
0
,
5
(
C
(0)
PMKL
−
C
(0)
PMKL
)
dξ.
(33)
Деформации
ε
(1)
KL
с учетом формул (10), (19) можно представить в виде
ε
(1)
KL
=
ξη
+
KL
Ф
KLMNS
ε
(0)
MN,S
;
(34)
η
=
KL
−
u
(0)
3
,KL
,
Ф
KLMNS
(
ξ
) = ˜
Ф
KLMNS
(
ξ
)
−
˜
Ф
KLMNS
(
ξ
) ;
(35)
˜
Ф
KLMNS
(
ξ
) =
−
ξ
−
0
,
5
(
C
−
1
K
3
i
3
δ
SL
+
C
−
1
L
3
i
3
δ
SK
)
C
d
i
3
MN
ξ.
(36)
С учетом формул (34), выражения (33) принимают вид
σ
(1)
IJ
=
ξC
(0)
IJKL
η
+
KL
˜
N
(0)
IJKLM
ε
(0)
KL,M
;
˜
N
(0)
IJKLM
=
N
(0)
IJKLM
+
Ф
IJKLM
.
(37)
Осредненные уравнения равновесия многослойных пластин.
Подставляя выражения (25)–(27) в асимптотическое разложение (14)
уравнений равновесия, получаем
σ
(0)
iJ,J
+
κ σ
(1)
iJ,J
+
κ
2
(
σ
(2)
iJ,J
−
Δ
pδ
i
3
) +
. . .
= 0
.
(38)
Домножим уравнения равновесия системы (8) на
ξκ
и проинте-
грируем их по толщине, тогда получим следующее вспомогательное
уравнение:
κ
(
ξσ
(0)
IJ,J
−
σ
(1)
I
3
) +
κ
2
(
ξσ
(1)
IJ,J
−
σ
(2)
I
3
) +
. . .
= 0
.
(39)
Здесь учтено, что
ξσ
(1)
i
3
/
3
=
−
σ
(1)
i
3
,
ξσ
(2)
i
3
/
3
=
−
σ
(2)
i
3
.
Введем обозначения для усилий
T
IJ
, моментов
M
IJ
и перерезыва-
ющих сил
Q
I
в пластине
T
IJ
=
σ
(0)
IJ
+
κ σ
(1)
IJ
+
. . .
;
Q
I
=
κ σ
(1)
I
3
+
κ
2
σ
(2)
I
3
+
. . .
;
M
IJ
=
κ ξσ
(0)
IJ
+
κ
2
ξσ
(1)
IJ
+
. . . .
(40)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
93
