Рассмотрим для пластины трехмерную задачу линейной теории
упругости
∇
j
σ
ij
= 0;
ε
ij
=
1
2
(
∇
j
u
i
+
∇
i
u
j
) ;
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
;
Σ
3
±
:
σ
i
3
=
−
κ
3
p
±
δ
i
3
,
Σ
T
:
u
i
=
u
ei
,
Σ
S
: [
σ
i
3
] = 0
,
[
u
3
] = 0
,
(2)
состоящую из уравнений равновесия, соотношений Коши, обобщен-
ного закона Гука, граничных условий на на внешней и внутренней
поверхностях пластины
Σ
3
±
(их уравнение имеет вид
˜
x
3
=
±
h/
2)
и
на торцевой поверхности
Σ
T
, а также граничных условий на поверх-
ности контакта
Σ
S
слоев пластины (
[
u
i
]
— скачок функций), которые
могут и отсутствовать (для однослойной пластины).
Основное допущение состоит в том, что давление
˜
p
±
на внешней
и внутренней поверхностях пластины имеет порядок малости
O
(
κ
3
)
(т.е.
˜
p
±
=
κ
3
p
±
)
— это допущение, как правило, соответствует реаль-
ным условиям нагружения тонких пластин. В уравнениях (2)
σ
ij
—
компоненты тензора напряжений,
ε
ij
— компоненты тензора деформа-
ций,
u
j
— компоненты вектора перемещений,
∇
j
=
∂/∂
˜
x
j
— оператор
дифференцирования по декартовым координатам,
C
ijkl
(
ξ
)
— комп о-
ненты тензора модулей упругости, который полагается зависящим от
координаты
ξ
3
=
ξ
, так как этот тензор различен для разных слоев
пластины. Никакого специального допущения об анизотропии мате-
риалов слоев пока не делаем, т.е. тензоры модулей упругости имеют
по 21 независимой компоненте [15].
Асимптотические разложения для многослойной пластины.
За-
дача (2) содержит локальную координату
ξ
, а также малый параметр
κ
в граничных условиях (это коэффициент при давлении), поэтому ее
решение будем искать в виде асимптотических разложений по параме-
тру
κ
как функций, зависящих от глобальных и локальной координат:
u
k
=
u
(0)
k
(
x
I
) +
κu
(1)
k
(
x
I
, ξ
) +
κ
2
u
(2)
k
(
x
I
, ξ
) +
κ
3
u
(3)
k
(
x
I
, ξ
) +
· · ·
.
(3)
Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами
I, J, K, L
принимают значения 1, 2, а индексы
i, j, k, l
— значения 1, 2, 3.
Подставим разложения (3) в соотношения Коши в системе (2), при
этом используем правила дифференцирования функций локальных ко-
ординат [10–12]
∂/∂
˜
x
j
→
∂/∂x
j
+ (1
/κ
)
δ
j
3
∂/∂ξ
, тогда получим асим-
птотические разложения для деформаций
ε
ij
=
ε
(0)
ij
+
κε
(1)
ij
+
κ
2
ε
(2)
ij
+
· · ·
,
(4)
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
