где
ε
(0)
IJ
=
1
2
(
u
(0)
I,J
+
u
(0)
J,I
)
, ε
(0)
I
3
=
1
2
(
u
(0)
3
,I
+
u
(1)
I/
3
)
, ε
(0)
33
=
u
(1)
3
/
3
;
ε
(1)
IJ
=
1
2
(
u
(1)
I,J
+
u
(1)
J,I
)
, ε
(1)
I
3
=
1
2
(
u
(1)
3
,I
+
u
(2)
I/
3
)
, ε
(1)
33
=
u
(2)
3
/
3
;
ε
(2)
IJ
=
1
2
(
u
(2)
I,J
+
u
(2)
J,I
)
, ε
(2)
I
3
=
1
2
(
u
(2)
3
,I
+
u
(3)
I/
3
)
, ε
(2)
33
=
u
(3)
3
/
3
,
и т.д.
(5)
Здесь производные по локальной координате обозначены как
u
(1)
i/
3
=
=
∂u
(1)
i
/∂ξ
и по глобальным координатам как
u
(1)
i,j
=
∂u
(1)
i
/∂x
j
.
Подставляя выражение (4) в закон Гука в системе (2), получаем
асимптотическое разложения для напряжений
σ
ij
=
σ
(0)
ij
+
κσ
(1)
ij
+
κ
2
σ
(2)
ij
+
. . . ,
(6)
где
σ
(0)
IJ
=
C
IJKL
ε
(0)
KL
+
C
IJk
3
ε
(0)
k
3
, σ
(0)
i
3
=
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(0)
k
3
;
σ
(1)
IJ
=
C
IJKL
ε
(1)
KL
+
C
IJk
3
ε
(1)
k
3
, σ
(1)
i
3
=
C
i
3
KL
ε
(1)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(1)
k
3
;
σ
(2)
IJ
=
C
IJKL
ε
(2)
KL
+
C
IJk
3
ε
(2)
k
3
, σ
(2)
i
3
=
C
i
3
KL
ε
(2)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(2)
k
3
и т.д.
(7)
Формулировка локальных задач.
Подставив разложения (3), (4) и
(6) в уравнения равновесия и граничные условия системы (2), получим
1
κ
σ
(0)
i
3
/
3
+(
σ
(0)
iJ,J
+
σ
(1)
i
3
/
3
)+
κ
(
σ
(1)
iJ,J
+
σ
(2)
i
3
/
3
) +
κ
2
(
σ
(2)
iJ,J
+
σ
(3)
i
3
/
3
)+
· · ·
= 0;
Σ
3
±
:
σ
(0)
i
3
+
κσ
(1)
i
3
+
κ
2
σ
(2)
i
3
+
· · ·
=
−
κ
3
p
±
δ
i
3
;
Σ
T
:
u
=
i
u
(0)
i
+
κu
(1)
i
+
κ
2
u
(2)
i
+
κ
3
u
(3)
i
+
· · ·
=
u
ei
.
(8)
Приравнивая в уравнениях равновесия члены при
κ
−
1
нулю, а при
остальных степенях от
κ
к некоторым величинам
h
(0)
i
, h
(1)
i
, h
(2)
i
, не за-
висящим от
ξ
l
, получим рекуррентную последовательность локальных
задач. Задача для нулевого приближения имеет вид
σ
(0)
i
3
/
3
= 0
,
σ
(0)
i
3
=
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(0)
k
3
,
ε
(0)
IJ
=
1
2
(
u
(0)
I,J
+
u
(0)
J,I
)
, ε
(0)
I
3
=
1
2
(
u
(0)
3
,I
+
u
(1)
I/
3
)
, ε
(0)
33
=
u
(1)
3
/
3
,
Σ
3
±
:
σ
(0)
i
3
= 0; Σ
S
: [
σ
(0)
i
3
] = 0
,
[
u
(1)
i
] = 0
, u
(1)
i
;
(9)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
89
