Осредненная система уравнений для пластин.
Подставляя далее
выражения (42)–(44) и (48) в систему (41), получаем систему относи-
тельно неизвестных функций
u
(0)
I
,
u
(0)
3
:
¯
C
IJKL
u
(0)
K,LJ
+
B
IJKL
u
(0)
3
,KLJ
+
K
IJKLM
u
(0)
K,LMJ
= 0;
B
IJKL
u
(0)
K,LJI
+
D
IJKL
u
(0)
3
,KLJI
+ ¯
K
IJKLM
u
(0)
K,LMJI
= Δ¯
p.
(49)
Эта система имеет и четвертый порядок относительно прогиба
u
(0)
3
,
как в классической теории пластин Кирхгофа–Лява, и третий поря-
док производных относительно продольных перемещений
u
(0)
I
, чем
отличается от теории Кирхгофа–Лява. Разработанная теория много-
слойных пластин близка по характеру распределения перемещений по
толщине к теории ломаной нормали Э.И. Григолюка [1], поскольку пе-
ремещения с точностью до членов первого порядка малости имеют
вид (18), (19).
Нелинейная зависимость перемещений
u
k
от
ξ
обусловлена разли-
чием модулей упругости для разных слоев пластины.
Напряжения межслойного сдвига и поперечные напряжения в
пластине.
После того как решена осредненная задача (49) и найдены
функции
u
(0)
I
,
u
(0)
3
, вычисляют деформации (48), а затем напряжения
σ
(0)
IJ
по формулам (20). Сдвиговые напряжения
σ
(0)
I
3
и поперечное на-
пряжение
σ
(0)
33
, как было установлено, в пластине тождественно равны
нулю. Ненулевые значения сдвиговых напряжений появляются у сле-
дующего члена асимптотического разложения —
σ
(1)
I
3
согласно (31).
Для поперечного напряжения первое в асимптотическом ряду ненуле-
вое значение — это значение
σ
(0)
33
, которое вычисляется согласно (27),
(28):
σ
33
=
−
κ
2
ξ
−
0
,
5
(
σ
(1)
3
J,J
−
σ
(1)
3
J,J
)
dξ
+
κ
3
(
−
p
−
−
Δ
p
(
ξ
+ 0
,
5)+
+
ξ
−
0
,
5
(
σ
(2)
3
J,J
−
σ
(2)
3
J,J
)
dξ
)
,
(50)
σ
I
3
=
ξ
−
0
,
5
(
σ
(0)
IJ,J
−
σ
(0)
IJ,J
)
dξ
+
κ
ξ
−
0
,
5
(
σ
(1)
IJ,J
−
σ
(1)
IJ,J
)
dξ.
(51)
Таким образом, разработанная теория тонких пластин позволяет найти
все шесть компонент тензора напряжений.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
95
