Задача об изгибе симметричной пластины.
Рассмотрим в каче-
стве примера классическую задачу об изгибе многослойной пластины
прямоугольной формы под действием равномерно распределенного
давления. Слои пластины расположены симметрично относительно
плоскости
ξ
= 0
, поэтому имеют место соотношения (46). В этом
случае
u
(0)
I
= 0
,
ε
(0)
KL
= 0
,
T
IJ
= 0
,
σ
(0)
IJ
= 0
,
σ
(1)
I
3
= 0
и ненулевыми
неизвестными функциями являются только
u
(0)
3
(
x
)
,
M
11
(
x
)
,
Q
1
(
x
)
, где
x
=
x
1
— безразмерная продольная координата пластины. Тождествен-
но ненулевые уравнения равновесия (41), определяющие соотношения
(43) и кинематические соотношения (48) принимают вид
M
11
,
11
= Δ¯
p, M
11
=
D
1111
η
11
, η
11
=
−
u
(0)
3
,
11
.
(52)
Напряжения первого и второго приближений согласно (37) и (29)
в данной задаче имеют вид
σ
(1)
IJ
=
−
ξC
(0)
IJ
11
u
(0)
3
,
11
, σ
(1)
I
3
= 0
,
σ
(2)
I
3
=
−
u
(0)
3
,
111
ξ
−
0
,
5
(
ξC
(0)
I
111
−
ξC
(0)
I
111
)
dξ.
(53)
Тогда изгибные напряжения, напряжения межслойного сдвига и попе-
речные напряжения, согласно (6), при сохранении главных членов в
асимптотических разложениях вычисляются по формулам
σ
IJ
=
−
κξC
(0)
IJ
11
u
(0)
3
,
11
, σ
I
3
=
−
κ
2
u
(0)
3
,
111
ξ
−
0
,
5
(
ξC
(0)
I
111
−
ξC
(0)
I
111
)
dξ,
σ
33
=
−
κ
3
(
p
−
+ Δ
p
(
ξ
+ 0
,
5)
−
Δ¯
p
D
1111
ξ
−
0
,
5
(
σ
(2)
−
σ
(2)
)
dξ
)
,
σ
(2)
=
ξ
−
0
,
5
(
ξC
(0)
1111
−
ξC
(0)
1111
)
dξ.
(54)
Из этих выражений следует, что напряжения
σ
IJ
по толщине пла-
стины распределены кусочно-линейным образом, а для однослойной
пластины (для которой
C
ijkl
=
const) эти напряжения имеют линейное
распределение по толщине, как и в классической теории пластин.
Если пластина однослойная, т.е.
C
ijkl
=
const, то напряжения меж-
слойного сдвига и поперечные напряжения, согласно (54), вычисля-
ются по формулам
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
