σ
I
3
=
−
κ
2
2
C
(0)
I
111
u
(0)
3
,
111
ξ
2
−
1
4
;
σ
33
=
−
κ
3
p
−
+ Δ
p
(
ξ
+ 0
,
5) +
u
(0)
3
,
1111
1
2
1
12
+
ξ
3
3
−
ξ
4
.
(55)
Решение уравнений (52) вместе с граничными условиями шарнирного
закрепления
x
= 0
и
x
= 1
:
u
(0)
3
= 0
,
u
(0)
3
,
11
= 0
— это классическое
решение для прогиба пластины в теории Кирхгофа—Лява:
u
(0)
3
=
−
Δ
p
24
D
11
x
(
x
3
−
2
x
+ 1)
, D
11
=
ξ
2
C
(0)
1111
,
(56)
а напряжения (54) принимают вид
σ
IJ
=
C
(0)
IJ
11
Δ˜
p
24
κ
2
D
11
x
(
x
−
1);
σ
I
3
=
Δ˜
p
κD
11
(
x
−
1
/
2)
ξ
−
0
,
5
(
ξC
(0)
I
111
−
ξC
(0)
I
111
)
dξ
;
σ
33
=
−
(˜
p
−
+ Δ˜
p
(
ξ
+ 0
,
5)
−
Δ˜
p
D
11
ξ
−
0
,
5
(
σ
(2)
−
σ
(2)
)
dξ
);
σ
(2)
=
ξ
−
0
,
5
(
ξC
(0)
1111
−
ξC
(0)
1111
)
dξ.
(57)
Здесь учтено, что
κ
Δ¯
p
¯
D
11111
=
Δ˜
p
κD
11
.
Для однослойной пластины из (57) получаем
σ
13
=
6Δ˜
p
κ
x
−
1
2
ξ
2
−
1
4
.
(58)
Отсюда следует, что максимальное значение касательного напряже-
ния
max
σ
13
=
3Δ˜
p
4
κ
такое же, как и в классической теории Кирхгофа–
Лява. Однако, для многослойной пластины формулы для напряжений
(57) отличаются от выражений, получаемых из теории Кирхгофа–Лява
с единой деформируемой нормалью, а также от выражений, получае-
мых с помощью модели Григолюка–Куликова с ломаной линией.
Выводы.
1. Разработана теория тонких многослойных анизотроп-
ных пластин, которая построена из уравнений общей трехмерной тео-
рии упругости путем введения асимптотических разложений по мало-
му параметру, без принятия каких-либо гипотез относительно харак-
тера распределения перемещений и напряжений по толщине.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
97
