Решение задачи нулевого приближения.
Ввиду того, что задачи
(9)–(11) одномерные по локальной переменной
ξ
, их решение можно
найти аналитически. Решение уравнений равновесия с граничными
условиями в локальной задаче (9) имеет вид
σ
(0)
i
3
= 0
,
∀
ξ
:
−
0
,
5
< ξ <
0
,
5
.
(15)
Подставляя сюда выражение (7) для
σ
(0)
i
3
, получим
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(0)
k
3
= 0
.
(16)
Выразим из этой системы уравнений деформации
ε
(0)
k
3
:
ε
(0)
k
3
=
−
C
−
1
k
3
i
3
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
,
(17)
где
C
−
1
i
3
k
3
— матрица компонент, обратная к
C
i
3
k
3
. Подставляя в (16)
выражения для деформаций
ε
(0)
k
3
из задачи (9), после интегрирования
с учетом условий
u
(1)
i
= 0
, находим перемещения
u
(1)
i
:
u
(1)
I
=
−
ξu
(0)
3
,I
+2
ε
(0)
KL
ξ
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
C
i
3
KL
dξ
−
ξ
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
C
i
3
KL
dξ ,
(18)
u
(1)
3
=
ε
(0)
KL
ξ
−
0
,
5
C
−
1
33
i
3
C
i
3
KL
dξ
−
ξ
−
0
,
5
C
−
1
33
i
3
C
i
3
KL
dξ
;
(19)
здесь учтено, что деформации
ε
(0)
KL
(
x
J
)
согласно (9), не зависят от
ξ
.
Подставляя выражение (17) в первую группу соотношений (7), на-
ходим, что напряжения
σ
(0)
IJ
, в отличие от
σ
(0)
i
3
, являются ненулевыми
σ
(0)
IJ
=
C
(0)
IJKL
ε
(0)
KL
;
(20)
C
(0)
IJKL
=
C
IJKL
−
C
IJk
3
C
−
1
k
3
i
3
C
i
3
KL
.
(21)
Решение задачи первого, второго и третьего приближений.
Ре-
шение уравнений равновесия в системах (10)–(12) вместе с граничны-
ми условиями на
Σ
S
и
ξ
=
−
0
,
5
имеет вид
σ
(1)
i
3
=
−
ξ
−
0
,
5
σ
(0)
iJ,J
dξ
+
h
(0)
i
(
ξ
+ 0
,
5);
(22)
σ
(2)
i
3
=
−
ξ
−
0
,
5
σ
(1)
iJ,J
dξ
+
h
(1)
i
(
ξ
+ 0
,
5);
(23)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
91
