где
q
= (
q
1
, q
2
, . . . , q
n
−
1
, q
n
)
т
, f
= (
f
1
, f
2
, . . . , f
n
−
1
, f
n
)
т
,
h
= (
h
1
, h
2
, . . . , h
n
−
1
, h
n
)
т
.
Рассмотрим функцию Ляпунова
V
=
1
2
q
т
(
t
)
K
−
1
q
(
t
) +
ε
(
t
)
0
Φ(
σ
)
dσ
.
Здесь
K
−
1
— постоянная симметрическая положительно определенная
квадратная матрица
n
-го порядка, так что
q
т
(
t
)
K
−
1
q
(
t
)
>
0
при любых
q
(
е
) = 0
; функция же
Φ(
σ
)
— непрерывная в начале координат, с
графиком из некоторого сектора углов в первом и третьем квадрантах
плоскости
(
σ,
Φ)
, так что
σ
Φ(
σ
)
>
0
при
σ
= 0
.
(7)
В силу (7) имеем
ε
(
t
)
0
Φ(
σ
)
dσ >
0
при всех
ε
(
t
) = 0
, а также
V
= 0
⇔
(
q
(
t
) = 0
∧
ε
(
t
) = 0)
. Итак, на решениях системы (6) функ-
ция
V
— положительно определенная. Запишем полную производную
функции Ляпунова по
t
в силу уравнений (6):
˙
V
(
t
) =
q
т
(
t
)[
K
−
1
f
+
+
h
(
t
)Φ(
ε
(
t
))]
−
Φ(
ε
(
t
))
·
S
(
ε
(
t
))
, и избавимся от ненаблюдаемой части
q
(
t
)
посредством обнуления,
K
−
1
f
+
h
(
t
)Φ(
ε
(
t
))
≡
0
, тогда
˙
V
(
t
) =
−
Φ(
ε
(
t
))
·
S
(
ε
(
t
))
.
(8)
Желаемое строгое неравенство
˙
V
(
t
)
<
0
выполняется лишь при
ε
= 0
,
если только
εS
(
ε
)
>
0
.
(9)
Действительно, при
ε
= 0
в силу (7) и (9) имеем
˙
V
(
t
) =
−
Φ(
ε
(
t
))
·
S
(
ε
(
t
)) =
−
ε
Φ(
ε
(
t
))
εS
(
ε
(
t
))
ε
2
<
0
.
Таким образом, на решениях системы (6) имеется положительно опре-
деленная функция Ляпунова
V >
0
со знакоотрицательной полной
производной по
t,
˙
V
0
. Определенная отрицательность
˙
V <
0
имеет
место лишь при
ε
= 0
.
Можно заключить, что законом
f
регулятора параметрической на-
стройки модели вида
f
=
−
Kh
(
t
)Φ[
ε
(
t
)]
будет доставляться асимпто-
тическая устойчивость координатному выходу канала слежения, при
этом регулятор настройки параметров имеет следующий вид:
˙˜
p
=
−
Kh
(
t
)Φ[
ε
(
t
)]
.
(10)
Нулевое решение системы (6) будет устойчивым в целом, если
V
→
+
∞
при
q
→
+
∞
и
|
ε
| →
+
∞
. Например, если функция
Φ
в
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
5
