Тогда выход
˜
y
(
t
)
следящей модели и параметры
˜
p
(
t
)
регулятора
асимптотически устойчиво отслеживают выход
у
(
t
)
и постоянные
параметры
p
объекта при любыхначальныхзначениях
ε
0
,
˜
p
0
на любом
вышеуказанном режиме функционирования объекта.
Случай линейного объекта первого порядка.
Реализуем синтез
следящего идентификатора для апериодического объекта, затем про-
анализируем качество переходных процессов.
Имеем объект с двумя параметрами
a, b
(
n
= 2
):
˙
y
(
t
) =
ay
(
t
) +
bu
(
t
)
,
(14)
с информацией о процессах
{
у
(
t
)
, u
(
t
)
}
для всех моментов времени.
В соответствии с теоремой 1 идентификатор объекта (14) будет следу-
ющим:
˙˜
y
(
t
) = ˜
a
(
t
)
y
(
t
) + ˜
b
(
t
)
u
(
t
)
−
S
[
ε
(
t
)]
,
˙˜
a
(
t
) =
−
[
k
11
y
(
t
) +
k
12
u
(
t
)]Φ[
ε
(
t
)]
,
˙˜
b
(
t
) =
−
[
k
21
y
(
t
) +
k
22
u
(
t
)]Φ[
ε
(
t
)]
,
(15)
где
ε
(
t
) = ˜
y
(
t
)
−
y
(
t
)
;
k
12
=
k
21
,
k
11
>
0
,
k
11
k
22
>
(
k
12
)
2
— условия
положительной определенности матрицы
K
.
Возмущенное движение идентификатора в соответствии с (11) удо-
влетворяет системе
˙
ε
(
t
) =
q
1
(
t
)
y
(
t
) +
q
2
(
t
)
u
(
t
)
−
S
[
ε
(
t
)]
,
˙
q
1
(
t
) =
−
[
k
11
y
(
t
) +
k
12
u
(
t
)]Φ[
ε
(
t
)]
,
˙
q
2
(
t
) =
−
[
k
21
y
(
t
) +
k
22
u
(
t
)]Φ[
ε
(
t
)]
,
(16)
где
q
1
= ˜
a
−
a
,
q
2
= ˜
b
−
b
— отклонения параметров. Положим
q
= (
q
1
, q
2
)
т
и
h
= (
h
1
, h
2
)
т
≡
(
y
(
t
)
, u
(
t
))
т
. Пусть
Φ(
ε
) =
C
Φ
ε
,
S
(
ε
) =
C
S
ε
,
C
Φ
>
0
,
C
S
>
0
, тогда векторной записью системы
(16) будет (12). Мы считаем, что процесс
h
(
t
)
допускает дифферен-
цирование по
t
. Продифференцируем по
t
первое уравнение (12),
подставим вместо
˙
q
правую часть второго уравнения (12) и получим
для
ε
неоднородное скалярное дифференциальное уравнение второго
порядка:
¨
ε
(
t
) +
C
S
˙
ε
(
t
) +
C
Φ
h
т
(
t
)
Kh
(
t
)
ε
(
t
) = ˙
h
т
(
t
)
q
(
t
)
.
(17)
Член
C
Φ
h
т
(
t
)
Kh
(
t
)
при
ε
(
t
)
запишем в виде
C
Φ
ζ
(
t
)
, причем в силу по-
ложительной определенности матрицы
K
имеем
ζ
(
t
) =
h
т
(
t
)
Kh
(
t
)
>
0
и поэтому
ζ
(
t
)
C
Φ
>
0
. Таким образом, все коэффициенты левой части
дифференциального уравнения (17) положительны.
Продифференцируем по
t
второе уравнение системы (12), подста-
вим на место
˙
ε
(
t
)
правую часть первого уравнения системы (12), а
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
