настройщике (10) линейная, вида
Φ(
ε
) =
С
Φ
ε
, где
С
Φ
>
0
, то функ-
ция
V
примет вид
V
(
t
) =
1
2
[
q
т
(
t
)
K
−
1
q
(
t
) +
C
Φ
ε
2
]
. Запишем нижнюю
оценку величины
V
:
V
(
t
) =
1
2
[
q
т
(
t
)
K
−
1
q
(
t
) +
C
Φ
ε
2
]
1
2
[
λ
min
q
2
+
C
Φ
ε
2
]
,
где
λ
min
— наименьшее собственное значение матрицы
K
−
1
и
q
—
норма вектора
q
, и отсюда заключаем, что
V
→
+
∞
при
q
→
+
∞
и
|
ε
| →
+
∞
. Аналогично можно показать, что и в случае нелиней-
ных функций
S
и
Φ
вида (7) и (9), но с условием
lim
σ
→∞
Φ(
σ
) = +
∞
,
будем иметь
V
→
+
∞
при
q
→
+
∞
и
|
ε
| →
+
∞
. Это означает
наличие устойчивости идентификатора в целом, и так как
q
— процесс
ненаблюдаемый, то идентификацию параметров можно начинать, на-
пример, при нулевых начальных значениях модельных параметров.
Условия (7) и (9) придают асимптотическую устойчивость режиму
ε
(
t
)
≡
0
, а теперь найдем условия асимптотической устойчивости
режима
q
(
t
)
≡
0
. Уравнения возмущенного движения идентификатора
в силу (4)–(6) и (10) имеют вид
˙
ε
(
t
) =
h
т
(
t
)
q
(
t
)
−
S
[
ε
(
t
)];
˙
q
(
t
) =
−
Kh
(
t
)Φ[
ε
(
t
)]
,
(11)
и, очевидно, на многообразии
ε
≡
0
; имеет место
˙
q
(
t
) = ˙˜
p
(
t
) = 0
,
а, следовательно, настройщик модельных параметров “замирает” и
остается в состоянии покоя, параметрические отклонения “заморажи-
ваются”,
q
(
t
) =
const, и величина функции Ляпунова в дальнейшем
не меняется,
V
(
t
) =
1
2
q
т
(
t
)
K
−
1
q
(
t
) =
const. Установим необходимые
условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы
(11). По сути, выявим условия “покидания” фазовой траекторией си-
стемы (11) многообразия
ε
≡
0
. Обратимся к случаю
Φ(
ε
) =
C
Φ
ε
,
S
(
ε
) =
C
S
ε
,
C
Φ
>
0
,
C
S
>
0
, где
C
Φ
, C
S
— коэффициенты усиления в
каналах настройки параметров модели и в цепи обратной отрицатель-
ной связи, задающие крутизну функций
Φ(
ε
)
,
S
(
ε
)
в начале координат.
При этом система уравнений возмущенного движения, как вытекает
из (11), примет следующий вид:
˙
ε
(
t
) =
h
т
(
t
)
q
(
t
)
−
C
S
·
ε
(
t
); ˙
q
(
t
) =
−
C
Φ
·
Kh
(
t
)
·
ε
(
t
)
.
(12)
Согласно (8) имеем
˙
V
=
−
C
Φ
C
S
ε
2
, поэтому
˙
V
≡
0
⇔
ε
≡
0
. Если
бы в некоторый момент
t
∗
одновременно с равенством
ε
(
t
∗
) = 0
вы-
полнялось условие ортогональности
q
т
(
t
∗
)
h
(
t
∗
) = 0
, то в силу первого
уравнения (12) имели бы
˙
ε
(
t
∗
) = 0
, так что
∀
t > t
∗
ε
(
t
) = ˙
ε
(
t
) = 0
,
˙
q
(
t
) = 0
,
q
(
t
) =
q
(
t
∗
) =
q
=
const. На многообразии
ε
≡
0
лежа-
ла бы полутраектория
{∀
t > t
∗
ε
(
t
) = 0
, q
(
t
) = ¯
q
=
const
= 0
}
,
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
