this aim, two approaches have been applied: the method of a varied configuration
(used by A.I. Lurier), which is promising from the viewpoint of generality and
universality, as well as the universal method (developed by the author of this paper
earlier) for representation of nonlinearly elastic continua models on the basis of
energetic pairs of stress and strain tensors. It is shown that for two of the tensor pairs,
the stability-theory relationships admit explicit analytical representation without
calculation of eigenvalues of the stretch tensor. The results of the study expand
the knowledge on fundamental relations of mechanics of deformable continua and
represent a theoretical basis for analysis of stability of complex structures including
those which are not thin-walled structures.
Keywords
:
three-dimensional theory of elastic stability, energetic pairs of stress and
strain tensors, finite deformations.
Введение.
Проблема расчета устойчивости упругих конструкций —
одна из основных задач механики деформируемых тел. Традиционные
существующие методы расчета конструкций на устойчивость основа-
ны на использовании теории двумерных оболочечных конструкций,
главным образом, на классической теории Кирхгофа–Лява, в которой
вводятся дополнительные нагрузки, вызванные наличием “основно-
го” устойчивого напряженного состояния оболочки [1–6]. Уравнения
теории устойчивости оболочек в рамках малых деформаций для раз-
личных частных случаев, как правило, выводят эмпирически с помо-
щью гипотез и допущений [1–7]. Это связано с тем, что формально
уравнения теории устойчивости даже для сред с малыми деформаци-
ями получают из общих нелинейных уравнений теории упругости с
конечными деформациями, которые в общей постановке достаточно
сложны и во многом неоднозначны [8–11]. Это касается различных
вариантов возможных моделей нелинейно-упругих сред, которых су-
ществует достаточно много, и нет ясности, какие из них предпочти-
тельнее использовать. Вследствие этих проблем эмпирический подход
вывода уравнений теории устойчивости получил наибольшее распро-
странение. Однако в последнее время в связи с развитием мощных
вычислительных систем, использующих методы конечного элемента,
возник интерес к трехмерным задачам теории устойчивости, освое-
ние которых позволило бы расширить круг решаемых задач и повы-
сить точность решений [11–13]. В настоящее время число публикаций,
посвященных трехмерным задачам устойчивости, весьма ограниче-
но. Первым уравнения теории устойчивости из общей нелинейной
теории упругости, используя при этом один из возможных ее вари-
антов на основе компонент тензора деформаций Коши–Грина, вывел
В.В. Новожилов [8]. Однако до сих пор не ясен следующий вопрос:
каковы будут уравнения теории устойчивости, если использовать дру-
гие модели нелинейной теории упругости? Некоторые оригинальные
подходы к выводу трехмерных уравнений устойчивости рассмотрены
в работах А.Н. Гузя [11].
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
