ные векторы взаимного базиса в отсчетной конфигурации
0
K
. Тогда
с учетом (6) и (7) для градиента деформации
F
получаем линейное
представление в окрестности точки
ξ
= 0
:
F = ˆr
i
⊗
0
r
i
= r
i
⊗
0
r
i
+
ξ
∇ ⊗
w
т
·
r
i
⊗
0
r
i
= F +
ξ
∇ ⊗
w
т
·
F;
(13)
F
ξ
=
d
dξ
F
|
ξ
=0
=
∇ ⊗
w
т
·
F =
0
∇ ⊗
w
т
,
(14)
где
0
∇
— набла-оператор в отсчетной конфигурации
0
K
. Обратный гра-
диентдеформации
F
−
1
в конфигурации
K
найдем по (10) и (11):
F
−
1
=
0
r
i
⊗
r
i
=
0
r
i
⊗
r
i
−
0
r
i
⊗
r
i
· ∇ ⊗
w
т
= F
−
1
−
F
−
1
· ∇ ⊗
w
т
;
(15)
F
−
1
ξ
=
d
dξ
F
−
1
|
ξ
=0
=
−
F
−
1
· ∇ ⊗
w
т
.
(16)
Производную гладких скалярных функций
Φ
1
(F)
и
Φ
2
(F)
по параме-
тру
ξ
вычисляем по формулам
Φ
1
(F)
ξ
=
d
dξ
Φ
1
(F)
|
ξ
=0
=
∂
Φ
1
∂
F
|
ξ
=0
· ·
F
т
ξ
;
(17)
(Φ
1
Φ
2
)
ξ
=
d
dξ
(Φ
1
Φ
2
)
|
ξ
=0
= Φ
1
ξ
Φ
2
|
ξ
=0
+ Φ
1
|
ξ
=0
Φ
2
ξ
= Φ
1
ξ
Φ
2
+ Φ
1
Φ
2
ξ
.
(18)
В частности, выбирая функцию
Φ
1
= g
/
0
g
, где
g = det(g
ij
)
и
0
g = det(
0
g
ij
)
— детерминанты метрических матриц
0
g
ij
=
0
r
i
·
0
r
j
,
g
ij
=
= r
i
·
r
j
, с учетом уравнения неразрывности в лагранжевом описании
(
g
0
g = det F
) определяем [16]
g
0
g
ξ
=
∂
∂
F
g
0
g
ξ
=0
· ·
F
т
ξ
=
∂
det F
∂
F
|
ξ
=0
· ·
(F
т
· ∇ ⊗
w) =
= (det F)
ξ
=0
F
– 1т
|
ξ
=0
·
F
т
· ·∇ ⊗
w = g
0
g
∇ ·
w
,
(19)
поскольку
F
|
ξ
=0
= F
.
Конвективная производная тензоров деформации Коши–Грина
и Альманзи.
По формулам (17) и (18) можно вычислить конвектив-
ную производную без использования варьированной конфигурации
K
, а непосредственно по формальным правилам дифференцирования
тензоров по фиктивному времени, за которое принят параметр
ξ
. С
помощью формул (14) и (16) находим конвективные производные пра-
вых тензоров деформации Коши–Грина и Альманзи, определяемых по
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
83
