Кинематика варьированной конфигурации.
Продифференциро-
вав (2) по параметру
X
i
, получим локальные векторы базиса в конфи-
гурации
K
:
r
i
=
∂
x
∂X
i
=
∂
x
∂X
i
+
ξ
∂
w
∂X
i
= r
i
+
ξ
∂
w
∂X
i
= r
i
·
(E +
ξ
∇ ⊗
w)
,
(5)
где
∇
— набла-оператор в конфигурации
K
. Для локальных векторов
r
i
в т очке
ξ
= 0
также можно использовать линейное представление
вида (2)
r
i
= r
i
+
ξ
r
iξ
; r
iξ
≡
d
dξ
r
i
|
ξ
=0
.
(6)
Сравнивая (5) и (6), определяем
r
iξ
= r
i
· ∇ ⊗
w
.
(7)
Выражения для векторов взаимного базиса
r
i
имеютвид
r
i
= r
i
−
ξ
r
i
· ∇ ⊗
w
т
.
(8)
Истинность выражения (8) можно проверить вычислением скаляр-
ного произведения:
r
i
·
r
j
= r
i
·
r
j
+
ξ
r
i
· ∇ ⊗
w
·
r
j
−
ξ
r
i
· ∇ ⊗
w
·
r
j
+
+
ξ
2
r
i
· ∇ ⊗
w
· ∇ ⊗
w
·
r
j
= r
i
·
r
j
=
δ
j
i
.
(9)
В (9) можно пренебречь слагаемым при
ξ
2
. Записывая представление
вида (2) для векторов
r
i
в окрестности точки
ξ
= 0
, находим
r
i
= r
i
+
ξ
r
i
ξ
,
r
i
ξ
≡
d
dξ
r
i
|
ξ
=0
.
(10)
Сравнивая (10) с (8), получаем
r
i
ξ
=
−
r
i
· ∇ ⊗
w
т
.
(11)
Таким образом, формулы (7) и (11) позволяютвыразить вариации ло-
кальных векторов базиса
δ
r
i
и
δ
r
i
через градиент
∇ ⊗
w
:
r
i
= r
i
+
δ
r
i
; r
i
= r
i
+
δ
r
i
;
δ
r
i
=
ξ
r
iξ
;
δ
r
i
=
ξ
r
i
ξ
.
(12)
Далее все формулы для вариаций тензоров деформации и напряже-
ний имеютаналогичный вид, поэтому для нахождения этих вариаций
достаточно ограничиться определением производных по параметру
ξ
,
которые назовем конвективными производными, так как они характе-
ризуютизменение величин в точке
M
при переходе из конфигурации
K
в конфигурацию
K
.
Конвективная производная градиента деформации.
Градиент
деформации
F
в конфигурации
K
определяем по аналогии с гради-
ентом деформации в конфигурации
K
:
F = ˆr
i
⊗
0
r
i
, где
0
r
i
— локаль-
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
