A
≡
I
A
и
J =
V
A
— первым и пятым квазиэнергетическими тензорами
деформации
(
n
)
A
,
n
= I
,
V
. Для определения конвективных производ-
ных остальных тензоров
(
n
)
C
и
(
n
)
A
,
n
= II
,
IV
, найдем конвективные
производные собственных векторов и собственных значений тензоров
искажений
U
и
V
.
Конвективная производная собственных векторов и собствен-
ных значений тензоров искажений.
Вычислим конвективные произ-
водные
λ
αξ
,
0
p
αξ
,
p
αξ
собственных значений
λ
α
и собственных векторов
0
p
α
правого тензора искажений
U = F
т
·
F
, а также производные
U
ξ
и
O
ξ
. Для этого воспользуемся следующими свойствами собственных
значений и собственных векторов [16]:
U =
3
α
=1
λ
α
0
p
α
⊗
0
p
α
,
U
2
=
3
α
=1
λ
2
α
0
p
α
⊗
0
p
α
;
(26)
0
p
α
·
0
p
β
=
δ
αβ
;
(27)
U
2
·
0
p
α
=
λ
2
α
0
p
α
;
(28)
U
2
= F
т
·
F
.
(29)
Дифференцируя (29) по параметру
ξ
, с учетом (21) получаем
U
2
ξ
= 2F
т
·
ε
(w)
·
F
.
(30)
Дифференцируя (27) по параметру
ξ
и принимая
β
=
α
, находим, что
векторы
0
p
α
и
0
p
αξ
ортогональны:
0
p
α
·
0
p
αξ
= 0
.
(31)
После дифференцирования формулы (28) по параметру
ξ
имеем
U
2
ξ
·
0
p
α
+ U
2
·
0
p
αξ
=
λ
2
αξ
0
p
α
+
λ
2
α
0
p
αξ
.
(32)
Умножая соотношение (32) скалярно на вектор
0
p
α
, получаем
0
p
α
·
U
2
ξ
·
0
p
α
+
0
p
α
·
U
2
·
0
p
αξ
=
λ
2
αξ
0
p
α
·
0
p
α
+
λ
2
α
0
p
α
·
0
p
αξ
.
(33)
С учетом (28) и (31) вторые слагаемые в левой и правой частях равен-
ства (33) обращаются в нуль, тогда
λ
2
αξ
=
0
p
α
·
U
2
ξ
·
0
p
α
.
(34)
Откуда, учитывая (18) и (30), находим
λ
αξ
=
1
λ
α
0
p
α
·
F
т
·
ε
(w)
·
F
·
0
p
α
.
(35)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
85
