Цель данной работы — вывод обобщенных трехмерных уравнений
теории устойчивости нелинейно-упругих тел с конечными деформа-
циями для широкого класса моделей нелинейной упругости. Для этого
применен перспективный с точки зрения общности и универсально-
сти метод варьированной конфигурации, использованный А.И. Лурье
[9], а также универсальный метод представления моделей нелинейно-
упругих сред на основе сопряженных энергетических пар тензоров
напряжений–деформаций, предложенный ранее автором данной рабо-
ты [14, 15].
Варьированная конфигурация.
Рассмотрим общий случай конеч-
ных деформаций упругих твердых сред [16]. Наряду с актуальной
конфигурацией
K
твердой среды в момент времени
t
введем еще одну
актуальную конфигурацию
K
, которую назовем варьированной [9].
Указанная конфигурация отличается от истинной конфигурации
K
на “малое перемещение”. Конфигурация
K
используется для поиска
возможного не единственного решения, факт существование которого
означает возникновение неустойчивости тела. Радиус-вектор
x
мате-
риальной точки
M
в конфигурации
K
связан с радиус-вектором
x
той
же точки соотношением
x = x +
δ
x
,
(1)
где
δ
x
— вариация радиус-вектора. Найдем эту вариацию. Пусть
f
(
ξ
)
—
гладкая скалярная функция, определенная на отрезке
0
≤
ξ
≤
ξ
m
, т о-
гда в малой окрестности точки
ξ
= 0
эту функцию можно предста-
вить линейной зависимостью вида
f
(
ξ
) =
f
(0) +
ξf
ξ
(0)
, где
f
ξ
(0)
—
производная функции в нуле,
f
ξ
(0) =
df
dξ
(0) = lim
ξ
→
0
f
(
ξ
)
−
f
(0)
ξ
. С уче-
том этого представления рассмотрим радиус-вектор
x
как функцию не
только лагранжевых координат
X
i
материальной точки и времени
t
, но
и как функцию дополнительного скалярного параметра
ξ
(фиктивное
время). Будем полагать, что такая функция линейна:
x
≡
x(
X
i
, t, ξ
) = x(
X
i
, t,
0) +
ξ
w(
X
i
, t
)
,
(2)
где
x(
X
i
, t,
0) = x(
X
i
, t
); w
≡
d
dξ
x(
X
i
, t, ξ
)
|
ξ
=0
.
(3)
Сравнивая (1) и (2), находим вариацию радиус-вектора
δ
x
как линей-
ную функцию параметра
ξ
:
δ
x =
ξ
w
.
(4)
Примем, что положение тела в актуальной конфигурации
K
известно
(известен радиус-вектор
x
), следовательно, задача теории устойчиво-
сти заключается в нахождении варьированной конфигурации
K
, т.е. в
определении вектора
w
(или
δ
x
(4)).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
81
