Используя полярное разложение
F = O
·
U
и формулу связи собствен-
ных векторов
p
α
= O
·
0
p
α
, получаем [16]
F
·
0
p
α
= O
·
U
·
0
p
α
=
λ
α
O
·
0
p
α
=
λ
α
p
α
.
(36)
Тогда из (30) и (34) записываем окончательные формулы для конвек-
тивной производной собственных значений:
λ
αξ
=
λ
α
p
α
·
ε
(w)
·
p
α
;
λ
2
αξ
= 2
λ
2
α
p
α
·
ε
(w)
·
p
α
.
(37)
Умножаем соотношение (32) скалярно на вектор
0
p
β
, т огда
0
p
β
·
U
2
ξ
·
0
p
α
+
0
p
β
·
U
2
·
0
p
αξ
=
λ
2
αξ
0
p
β
·
0
p
α
+
λ
2
α
0
p
β
·
0
p
αξ
, α
=
β.
(38)
С учетом (27) и (28) находим (полагая, что все собственные значения
λ
α
различны), что
0
p
β
·
0
p
αξ
=
0
p
β
·
U
2
ξ
·
0
p
α
λ
2
α
−
λ
2
β
, α
=
β.
(39)
Разложив векторы
0
p
αξ
по базису
0
p
α
, с учетом (39) получим
0
p
αξ
=
3
β
=1
(
0
p
αξ
·
0
p
β
)
0
p
β
=
3
α
=
β,β
=1
0
p
β
·
U
2
ξ
·
0
p
α
λ
2
α
−
λ
2
β
0
p
β
,
(40)
или, приняв во внимание (30) и (36), запишем окончательную формулу
для производных собственных векторов
0
p
αξ
= 2
3
α
=
β,β
=1
λ
α
λ
β
p
β
·
ε
(w)
·
p
α
λ
2
α
−
λ
2
β
0
p
β
.
(41)
Используя разложение левого тензора искажений
V
по собствен-
ному базису
V
2
=
3
α
=1
λ
2
α
p
α
⊗
p
α
;
(42)
V
2
·
p
α
=
λ
2
α
p
α
,
(43)
с учетом (14) получаем аналог формулы (38):
p
β
·
V
2
ξ
·
p
α
+ p
β
·
V
2
·
p
αξ
=
λ
2
α
p
β
·
p
αξ
.
(44)
Из (44) определяем, что
p
β
·
p
αξ
=
p
β
·
V
2
ξ
·
p
α
λ
2
α
−
λ
2
β
,
(45)
следовательно,
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
