v
2
=
E
ρ
(3)
— для продольных волн;
v
2
=
G
ρ
(4)
— для сдвиговых, крутильных волн.
Квадрат фазовой скорости дискретных систем будет определяться
соотношением их упругой и инерционной характеристик.
Рассмотрим продольные колебания призматического стержня с
площадью поперечного сечения
S
, модулем упругости
Е
и плотно-
стью
ρ
(рис. 1).
Подставляя выражение для фазовой скорости (3) в волновое урав-
нение (2) и умножая числитель и знаменатель правой части на
S
,
получаем следующее выражение
∂
2
u
∂t
2
(
x, t
) =
E
ρ
∂
2
u
∂x
2
(
x, t
)
S
S
.
(5)
В этом выражении произведение
ES
является жесткостью на растя-
жение. Вторую производную от
u
по
x
представим в виде разности
деформаций в сечениях
x
и
x
+
dx
, отнесенной к приращению
dx
∂
2
u
∂x
2
(
x, t
) =
u
0
x
(
x
+
dx, t
)
−
u
0
x
(
x, t
)
dx
.
(6)
Используя выражение (6), преобразуем формулу (5) и получаем
ρSdx
∂
2
u
∂t
2
(
x, t
) =
ESu
0
x
(
x
+
dx, t
)
−
ESu
0
x
(
x, t
)
.
(7)
Здесь
ρS dx
=
dm
— элементарная масса участка
dx
.
Поскольку правая часть выражения (7) представляет собой раз-
ность сил
N
1
−
N
по обе стороны от участка
dx
, получаем дифферен-
циальное уравнение движения участка стержня в виде
dm
∂
2
u
∂t
2
(
x, t
) =
N
1
−
N.
(8)
По форме, если заменить частную производную полной, уравне-
ние (8) выражает второй закон Ньютона. Однако, усредняя силу, дей-
Рис. 1. Схема продольных колебаний стержня
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
