каждой волны
h/
2
. Тогда получим
u
(
x, t
) =
ϕ
(
x
−
vt
) +
φ
(
x
+
vt
)
.
Прямая и отраженная обратная волны движутся по струне со скоро-
стью
v
и, складываясь у правого конца через половину периода, обра-
зуют зеркально отраженную исходную форму струны. В следующий
полупериод струна, пройдя в обратном порядке все рассмотренные со-
стояния, вернется в первоначальное положение (при
t
= 0)
, после чего
процесс будет повторяться с периодом
T
= 2
l/v
. При этом в каждый
момент времени отклоняются только сечения, через которые проходят
прямая и отраженная волны, а другие сечения остаются неподвижны-
ми.
Решая волновое уравнение (2) по методу Фурье при начальных
условиях
u
(
t
= 0) =
f
(
x
)
,
u
0
t
(
t
= 0) =
F
(
x
)
и краевых условиях
u
(
x
= 0) = 0
,
u
(
x
=
l
) = 0
, в свою очередь, получаем
u
(
x, t
) =
∞
X
k
=1
a
k
cos
kπvt
l
+
b
k
sin
kπvt
l
sin
kπx
l
=
=
∞
X
k
=1
A
k
sin
kπx
l
sin
kπvt
l
+
ϕ
k
,
(10)
где
a
k
=
2
l
l
Z
0
f
(
x
) sin
kπx
l
dx
;
b
k
=
2
kπv
l
Z
0
F
(
x
) sin
kπx
l
dx
;
A
k
=
=
p
a
2
k
+
b
2
k
;
tg
ϕ
k
=
a
k
b
k
.
Для рассмотренного примера (см. рис. 2) функция
f
(
x
)
задается
формулами
f
(
x
) =
8
h
l
x,
если
0
6
x
6
l
8
,
8
h
l
l
4
−
x ,
если
l
8
6
x
6
l
4
,
0
,
если
l
4
6
x
6
l.
Так как
F
(
x
) =
0, в выражении (10) все коэффициенты
b
k
= 0
.
Подставляя
f
(
x
)
в формулы (10) и интегрируя полученные соот-
ношения, находим решение для рассматриваемого случая колебаний
струны по методу Фурье:
u
(
x, t
) =
16
h
π
2
k
2
∞
X
k
=1
2 sin
kπ
8
−
sin
kπ
4
sin
kπx
l
cos
kπvt
l
.
(11)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
55
