Рис. 3. Первая и седьмая моды непрерывной струны
что при заданных начальных условиях в выбранном интервале вре-
мени седьмое сечение неподвижно от начала движения до подхода к
нему прямой волны, а первое сечение остается неподвижным после
прохода отраженной обратной волны.
В следующий полупериод от
Т
/
2
до
Т
, так как все собственные
частоты кратны первой, значения
cos
kπvt
l
одновременно меняют знак
на противоположный для всех собственных форм. Из этого следует,
что по струне прямая и обратная волны распространяются в проти-
воположных направлениях. При этом в момент времени
Т
/
2
прямая
и отраженная волны, суммируясь, образуют форму колебаний, подоб-
ную первоначальной, но зеркально отраженную как от нулевого по-
ложения, так и от середины струны. Этот же, рассмотренный выше
волновой процесс, представлен на рис. 4, где изображены графики от-
клонений сечений
1
и
7
в функции времени, построенные по формуле
(12) для сорока гармоник. Как и следовало ожидать, решения методом
Даламбера (использование фазовых плоскостей) и методом Фурье (ис-
пользование собственных функций и интегралов Фурье для нахожде-
ния произвольных постоянных) привели к одинаковым результатам.
Рассмотрим механическую систему, не являющуюся в общепри-
нятом смысле однородной, а в определенных условиях аналогичную
однородным, для которой форма колебаний близка к гармонической и
возможно существование бегущих и стоячих волн. Эта квазиоднород-
ная механическая система может представлять собой некоторое число
близких по своим свойствам участков, каждый из которых предста-
вляет собой инерционную массу с упругой связью.
В существующих методах расчета колебаний динамических си-
стем, в том числе и квазиоднородных, для перехода от физической
к математической модели используется второй закон Ньютона в фор-
ме принципа Даламбера либо уравнения Лагранжа второго рода. Од-
нако, как указывалось выше, использование второго закона Ньютона
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
57
