Рис. 7. Схема прохождения по системе волны после отражения
где
i
— номер массы;
k
— номер нормального колебания;
A
k
sin
ikπ
n
+ 1
—
амплитуда смещения
i
-й массы
k
-го нормального колебания.
Подставив выражение (16) в уравнения движения (14), найдем, что
уравнения (14) обращаются в тождество, если
ω
k
= 2
r
c
J
sin
kπ
2 (
n
+ 1)
для всех
k
= 1
,
2
, . . . , n.
(17)
Таким образом, рассматриваемой дискретной системе, обладаю-
щей
n
степенями свободы свойственны
n
нормальных колебаний, кру-
говые частоты которых определяются выражением (17), т.е. не явля-
ются кратными наинизшей круговой частоте
ω
1
первого нормально-
го колебания в отличие от нормальных частот однородной системы
сплошного стержня. Однако лежащие в области низких частот (для ко-
торых
k n
) нормальные колебания дискретной и сплошной систем
совпадают по частоте и имеют одинаковые распределения амплитуд.
По мере увеличения
k
частоты дискретной и сплошной систем посте-
пенно расходятся: у дискретной системы спектр обрывается на частоте
ω
k
≈
2
p
c/J
(при
k
=
n
1
), частоты же гармоник спектра сплошной
системы неограниченно возрастают при
k
→ ∞
.
Для представленной на рис. 5 квазиоднородной динамической кру-
тильной системы, описанной дифференциальными уравнениями (14),
оказалось, что собственные частоты, полученные решением этой си-
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
