+
ω
2
r
−
ω
2
−
2
nω
0
2
nω ω
2
r
−
ω
2
0
0
0
ω
2
r
w
1
w
2
w
3
=
h
1
h
2
h
3
e
ipt
,
(51)
где
h
i
=
ρ
−
ρ
r
m
r
+
m
0
α
Z
S
r
U
(
e
)
0
(
x
)
n
ri
dS
.
Рассматривая малые колебания твердого ядра относительно его
эксцентричного положения, предположим, что возмущающее влия-
ние внешних факторов мало, в правой части уравнения (51) примем
постоянные значения координат, соответствующие указанному невоз-
мущенному эксцентричному положению твердого ядра. Матричное
уравнение (51) эквивалентно системе линейных неоднородных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение,
определяющее вынужденные движения вращающегося твердого ядра,
может быть представлено в комплексном виде
w
k
(
t
) =
A
k
e
ipt
.
Комплексные амплитуды
A
k
вынужденных колебаний сферического
ядра в гравитирующей вязкой жидкости, заполняющей сферическую
полость, выражаются формулами
A
1
=
h
1
[
−
p
2
+ 2
npi
+
ω
2
r
−
ω
2
] + 2
h
2
ω
(
ip
+
n
)
D
(
p
)
;
A
2
=
h
2
[
−
p
2
+ 2
npi
+
ω
2
r
−
ω
2
]
−
2
h
2
ω
(
ip
+
n
)
D
(
p
)
;
A
3
=
h
3
−
p
2
+ 2
npi
+
ω
2
r
,
(52)
где
D
(
p
) =
p
4
−
4
nip
3
−
2
p
2
(
ω
2
r
+
ω
2
+2
n
2
)+4
nip
(
ω
2
r
+3
ω
2
)+(
ω
2
r
−
ω
2
)
2
+
+ 16
n
2
ω
2
— характеристический полином.
Приравняв характеристический полином нулю, получим частотное
уравнение, корни которого определяют значения комплексных соб-
ственных частот колебаний внутреннего ядра Земли:
p
1
=
ω
r
+
ω
+
ω
r
−
ω
ω
r
ni
+
O
(
n
2
);
p
2
=
ω
r
−
ω
+
ω
r
+
ω
ω
r
ni
+
O
(
n
2
)
.
(53)
Здесь действительная часть определяет значения собственных частот
колебаний ядра во вращающейся оболочке, заполненной идеальной
гравитирующей жидкостью, мнимая часть — значения коэффициентов
затухания. Как следует из выражений (53), вращение “расщепляет”
не только собственную частоту колебаний ядра
ω
r
, но и коэффициент
затухания.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
35
