свободных колебаний ядра в вязкой жидкости:
n
=
ε
r
ρ
2
√
2 (
m
r
+
m
α
)
√
νω
r
.
(48)
Выражение мнимой части корня характеристического уравнения по-
казывает, что частота свободных колебаний невращающегося ядра в
вязкой гравитирующей жидкости меньше, чем в идеальной, на вели-
чину
ρ
√
νω
r
m
r
+
m
α
ε
r
2
√
2
.
Первое слагаемое в фигурных скобках формулы (45) описывает вы-
нужденные колебания, второе описывает затухающие колебания ядра
той же частоты, что и свободные, но возникающие при воздействии
внешних гравитационных сил. В случае гармонического возмущения
внешних сил в формулах (45) следует положить
μ
k
=
ip
k
,
√
μ
k
=
−
(1+
+
i
)
√
p
k
/
√
2
; приведенные формулы остаются справедливы, если
μ
2
k
+
+
σ
2
не равно нулю.
Рассмотрим вынужденные колебания ядра в случае
ω
6
= 0
. Пред-
положим, что внешние силы — гармонические с силовой функцией
U
(
e
)
E
(
x, t
) =
U
(
e
)
0
(
x
)
e
ipt
. Преобразуем интеграл в уравнении движения
(41), полагая
t
0
→ −∞
:
t
Z
−∞
˙ˉ
w
r
√
t
−
τ
dτ
=
r
π
2
p
v
r
(
t
) +
r
πp
2
w
r
(
t
)
.
(49)
С учетом выражения (49) уравнение вынужденных колебаний ядра
приобретает следующий вид:
(
m
r
+
m
0
α
)
d
2
ˉ
w
r
dt
2
+ 2ˉ
ω
×
ˉ
w
r
+ ˉ
ω
×
(ˉ
ω
×
ˉ
w
r
) +
+
r
νp
2
(
ε
r
˙ˉ
w
r
+ ˉ
ω
×
ε
r
ˉ
w
r
) +
c
r
ˉ
w
r
= (
ρ
−
ρ
r
)
Z
S
r
U
(
e
)
0
(
x
)
e
ipt
ˉ
n
r
dS,
(50)
где
m
0
α
=
m
α
+
ρ
r
ν
2
p
ε
r
— присоединенная масса вязкой жидкости.
Пренебрегая влиянием вязкости на собственную частоту колебаний
ядра, запишем уравнениe движения (50) в матричной форме
¨
w
1
¨
w
2
¨
w
3
+
2
n
−
2
ω
0
2
ω
2
n
0
0 0 2
n
˙
w
1
˙
w
2
˙
w
3
+
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
