Уравнение энергии
, описывающее теплообмен в пористой среде
[24], имеет вид
(
ρc
p
)
e
∂T
∂t
+
ρc
p
~w
grad
T
=
div
([
λ
e
] grad
T
) +
S
T
,
(5)
где
c
p
— удельная теплоемкость, Дж/(кг
∙
K);
[
λ
e
] =
λ
exx
λ
exy
λ
eyx
λ
eyy
— тен-
зор эффективной теплопроводности пористой среды;
S
T
— мощность
внутреннего источника теплоты, Дж/(м
3
∙
c);
(
ρc
p
)
e
— объемная эффек-
тивная теплоемкость, Дж/(м
3
∙
K).
Запишем обобщенное конвективно-диффузионное
уравнение пере-
носа
для скалярной переменной
Φ
:
∂
∂t
(
φρ
Φ) +
div
(
ρ~w
Φ) =
div
(Γ grad Φ) +
S
Φ
,
(6)
где
Γ
— коэффициент диффузии.
Заданы следующие
граничные условия.
Для уравнения движения и неразрывности:
1)
P
|
Γ
1
=
P
зад
(постоянство давления, Па);
2)
(
ρ~w, ~n
)
|
Γ
2
= 0
(непроницаемость границы);
3)
q
= (
ρ~w, ~n
)
|
Γ
3
(расход жидкости, кг/(м
2
с
)
).
Для уравнения энергии:
1)
T
|
Γ
1
=
T
зад
(постоянство температуры, K, — граничное условие
первого рода);
2)
q
T
=
−
([
λ
e
] grad
T, ~n
)
|
Γ
2
(плотность теплового потока, Вт/м
2
, —
граничное условие второго рода);
3)
−
([
λ
e
] grad
T, ~n
)
|
Γ
3
=
α
(
T
−
T
f
)
(конвективный теплообмен на
границе),
α
— коэффициент теплоотдачи, Вт/(м
2
K);
T
f
— температура
окружающей среды, K.
Для уравнения переноса граничные условия аналогичны гранич-
ным условиям для уравнения энергии.
В качестве
начальных условий
зададим начальные распределения
всех зависимых переменных:
P
|
t
=0
=
P
нач
,
T
|
t
=0
=
T
нач
,
Φ
|
t
=0
= Φ
нач
.
Разбиение расчетной области на контрольные объемы.
Форми-
рование контрольных объемов около узлов, находящихся в вершинах
конечных элементов проводится следующим образом [5] (рис. 1): в
ко-
нечном элементе
определяется положение центра масс, соответствую-
щее точке
2
, затем определяются середины сторон элемента (точки
1,
3, 4
), которые соединяются отрезками медиан с центром масс. Часть
области, ограниченная ломаной
i–1–2–3–i
, является вкладом
l
-го эле-
мента
i–j–k
в контрольный объем
i
-го узла; часть области
j–4–2–1–j
является вкладом
l
-го элемента в контрольный объем
j
-го узла и часть
k–4–2–3–k
является вкладом
l
-го элемента в контрольный объем
k
-го
узла. Объединяем вклады от каждого элемента, содержащего данный
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
75
