Подставляя (29) в (27) и записывая эти уравнения в узлах сет-
ки, получаем следующую нелинейную систему алгебраических урав-
нений относительно неизвестных значений функций в узлах сетки
η
= (
η
1
, . . . , η
n
+2
)
т
= (
θ , v , v
1
, . . . , v
m
, . . . , v
n
)
т
:
Φ (
η
) = 0
,
ϕ
1
(
η
1
, ..., η
n
+2
) = 0;
...................................
ϕ
n
+2
(
η
1
, ..., η
n
+2
) = 0
,
(30)
где
ϕ
1
= 1
−
θ
h
G
(
v
)
i
;
ϕ
j
= ˉ
M
|
V
ξg
|
F
(
v
j
−
2
)
−
v
j
−
2
S z
3
j
−
2
D
˜
F
(
v
)
E
, j
= 2
, n
+ 2
,
если
v
0
=
v .
Система (30) решается численно методом Ньютона:
η
(
s
+1)
p
=
η
(
s
)
p
−
h
A
l
p
(
s
)
i
−
1
ϕ
(
s
)
l
,
(31)
где
p
= 1
, n
+ 2
— номер неизвестной в координатном столбце
η
;
s
—
номер итерации;
l
— индекс суммирования (номер строки в матрице
Якоби);
A
l
p
— элементы матрицы Якоби, из которых ненулевые
A
1
1
=
− h
G
(
v
)
i
g
;
A
j
j
=
ˉ
M
|
V
ξg
|
γ
−
1
F
γ
(
v
j
−
2
)
v
j
−
2
γ
1
θ
−
S z
3
j
−
2
D
˜
F
(
v
)
E
,
j
= 2
, n
+ 2;
A
j
1
=
ˉ
M
|
V
ξg
|
γ
−
1
F
γ
(
v
j
−
2
)
v
2
−
v
2
j
−
2
2
γ
1
(
θ
)
2
, j
= 3
, n
+ 2;
A
j
2
=
ˉ
M
|
V
ξg
|
1
−
γ
F
γ
(
v
j
−
2
)
v
γ
1
θ
, j
= 3
, n
+ 2
.
(32)
В методе Ньютона при вычислении элементов
A
l
p
матрицы Яко-
би на
s
-й итерации введена модификация, заключающаяся в том, что
средние значения
h
G
(
v
)
i
и
h
˜
F
(
v
)
i
получаются путем подстановки в
формулу (29) для
Ω =
{
G
(
v
)
,
˜
F
(
v
)
}
сеточных значений модуля ско-
рости
v
частиц жидкости, взятых с итерации
s
−
1
.
Пример численной реализации метода.
В качестве примера чи-
сленной реализации метода была рассмотрена пористая среда, по-
ры которой заполнены воздухом (
c
p
= 1
,
006
кДж/(кг
∙
K),
γ
= 1
,
2
,
R
= 0
,
168
кДж/(кг
∙
K)). Характерные геометрические и газодинами-
ческие параметры были выбраны следующими:
x
0
= 1
м,
t
0
= 1
c,
v
0
=
x
0
/t
0
, плотность
ρ
0
= 10
кг/м
3
, температура
θ
0
= 293
,
15
K,
давление
p
0
=
ρ
0
v
2
0
. Функция формы
f
Σ
(см. рис. 2) поровой обла-
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
