μ
1
, μ
2
— коэффициенты вязкости, которые полагаются “малыми”, т.е
представимыми в виде
μ
α
=
μ
0
α
κ
2
;
c
V
, R
— соответственно тепло-
емкость при постоянном объеме и газовая постоянная;
r
x
– набла-
оператор Гамильтона, который в декартовом базисе имеет следующий
вид [10]:
r
x
=
∂/∂
x = e
i
∂/∂x
i
.
Все функции
Ω =
{
ρ,
v
, θ, . . .
}
, входящие в систему (1), пола-
гаются квазипериодическими, т.е. они зависят от трех аргументов:
Ω = Ω (ˉx
, ξ, t
)
[1],
ˉx
2
V
,
ξ
2
V
ξ
“медленно” изменяются относи-
тельно аргумента
ˉx
и являются однопериодическими по второму ар-
гументу
ξ
:
Ω ˉx
, ξ
1
, ξ
2
,
−
1
2
, t
= Ω ˉx
, ξ
1
, ξ
2
,
1
2
, t
и т.д. для всех
ξ
i
.
Условия периодичности далее обозначаются как
[[Ω]] = 0
. Дифферен-
цирование квазипериодических функций выполняется в соответствии
с правилом дифференцирования сложной функции:
r
x
Ω (ˉx
, ξ, t
)
→ r
ˉ
x
Ω (ˉx
, ξ, t
) +
1
κ
r
ξ
Ω (ˉx
, ξ, t
)
,
(2)
где
r
ˉ
x
,
r
ξ
— операторы Гамильтона по координатам
ˉx
и
ξ
соответ-
ственно.
Введем оператор среднего значения
h ∙ i
по ЯП
V
ξ
для квазиперио-
дических по локальным координатам
ξ
2
V
ξ
функций
Ω
[1]:
h
Ω
i
=
1
ϕ
q
|
V
ξ
|
Z
V
ξ
Ω
d
˜
V
ξ
,
(3)
где
ϕ
q
=
1
|
V
ξ
|
Z
V
ξq
d
˜
V
ξq
— объемная доля жидкости в ЯП (пористость), а
|
V
ξ
|
— объем ЯП
V
ξ
.
В соответствии с методом асимптотического осреднения ([4])
функции системы уравнений (1) представляются асимптотическими
рядами по малому параметру
κ
:
Ω (ˉx
, ξ, t
) = Ω
(0)
(ˉx
, ξ, t
) +
κ
Ω
(1)
(ˉx
, ξ, t
) +
κ
2
Ω
(2)
(ˉx
, ξ, t
) +
. . . .
(4)
Используя правила дифференцирования сложной функции (3), пу-
тем подстановки выражений (4) в систему уравнений (1) и приведения
слагаемых при одинаковых степенях малого параметра
κ
получаем по-
следовательность так называемых локальных задач газовой динамики
на ЯП
V
ξ
. Собирая члены при степени
κ
−
1
, получаем локальную задачу
газовой динамики нулевого уровня на ячейке периодичности:
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
