r
ξ
∙
ρ
(0)
v
(0)
= 0;
v
(0)
×
(
r
ξ
×
v
(0)
) =
r
ξ
i
;
v
2
2
+
с
p
θ
=
v
2
2
+
c
p
θ
=
i
p
(0)
p
=
ρ
(0)
ρ
γ
,
θ
(0)
θ
=
ρ
(0)
ρ
γ
−
1
;
v
(0)
∙
n
(0)
= 0
, ξ
2
Σ
ξsg
; [[Ω]] = 0;
ρ
(0)
v
(0)
= ˉ
ρ
ˉ
v
, ρ
(0)
= ˉ
ρ, θ
(0)
= ˉ
θ.
(6)
Первое уравнение системы (6) — уравнение неразрывности, второе
— векторное уравнение установившегося движения газа в форме
Громеки–Лемба, третье — интеграл Бернулли, четвертое и пятое —
адиабата Пуассона и уравнение баротропии (оба являются следствием
уравнения энергии и уравнения состояния). В системе (5) независимы
только шесть скалярных уравнений. Здесь введены обозначения:
p
,
ρ
,
θ
,
v
,
i
— постоянные интегрирования, входящие в число неиз-
вестных (независимы из них только три), и зависящие от линии тока;
v
=
|
v
(0)
|
— модуль вектора скорости. Для постоянных интегрировния
справедливы соотношения
p
=
ρ c
p
θ
γ
−
1
γ
, γ
=
c
p
c
V
, R
=
c
p
−
c
V
.
(7)
Осесимметричная локальная задача.
В ЯП
V
ξ
кроме указанных
выше локальных декартовых координат
ξ
i
введем цилиндрические
локальные координаты
r
,
ψ
,
z
, связанные с
ξ
i
соотношениями [10]
ξ
1
=
r
cos
ψ
;
ξ
2
=
r
sin
ψ
;
ξ
3
=
z
(
e
r
,
e
ψ
,
e
z
— физический базис ци-
линдрической системы координат). Положим далее, что пора в ЯП
имеет осесиммметричную форму с осью симметрии
Oz
и обозначим
r
=
f
Σ
(
z
)
функцию формы поверхности
Σ
ξsg
контакта жидкости с
твердым телом в ЯП. В цилиндрической системе координат формула
(3) примет вид
h
Ω
i
=
2
π
|
V
ξg
|
f
Σ
Z
0
1
/
2
Z
−
1
/
2
Ω (
r, z
)
rdrdz.
(8)
Положим, что входные данные задачи (5) согласованы с осесимме-
тричной одноканальной структурой пор, т.е. являются одномерными
и соответствуют течению жидкости в направлении оси
Oz
:
ˉ
ρ
(ˉ
x
3
, t
)
,
ˉv
=
ˉ
v
z
(ˉ
x
3
, t
) e
z
и
ˉ
θ
(ˉ
x
3
, t
)
. В этом случае решение задачи (6) также
будет обладать осевой симметрией:
ρ
(0)
(
r, z
)
,
v
(0)
=
v
(0)
r
(
r, z
) e
r
+
+
v
(0)
z
(
r, z
) e
z
и
θ
(0)
(
r, z
)
, т.е. будет зависеть от двух координат:
r
и
z
.
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
