Замечание 3.
О формировании сигналов с заданным законом
модуляции хаотической несущей.
Пусть имеется некоторый осцил-
лятор (автогенератор) с хаотической динамикой. Сформулируем сле-
дующую задачу: какие параметры осциллятора следует модулировать
так, чтобы хаотические колебания осциллятора имели заданный закон
модуляции относительно хаотических колебаний невозмущенного ос-
циллятора. Переформулируем эту задачу на “языке” синхронизации:
пусть имеется связанная система вида
˙
X
=
F
(
X
)
+
μ
f
(
X
, η)
;
˙
X
1
=
F
(
X
1
)
−
ε
C
(
X
1
−
X
)
;
˙
η
=
μ.
(23)
Здесь
μ
— малый параметр,
f
(
X
, η)
— функция с медленно изменяю-
щимися параметрами — модулятор.
Требуется определить модулятор
f
(
X
, η)
и матрицу
C
таким обра-
зом, чтобы в режиме принудительной синхронизации была обеспечена
заданная временная связь переменных ведущего и ведомого осцилля-
торов.
Задачу решаем следующим образом.
1. Задаем связь переменных
X
1
и
X
в виде степенного ряда
X
1
=
X
+
μ
X
11
(
X
, η)
+
μ
2
X
12
(
X
, η)
+
. . . .
2. Подставляем этот ряд во второе уравнение системы (23). Прово-
дя разложения функций и учитывая вид первого уравнения системы,
получаем следующее уравнение для функции первого приближения:
∂
X
11
∂
X
F
−
∂
F
∂
X
X
11
+
ε
CX
11
= −
f
(
X
, η) .
(24)
Поскольку функция
X
11
является заданной, то уравнение (24) опреде-
ляет искомый модулятор.
Например, пусть вектор-функция
X
11
имеет вид
X
11
=
α
X
+
1
˙
X
,
где
α (μ
t
)
— некоторая диагональная матрица,
1 (μ
t
)
— скалярная
функция. Этот случай с точностью
μ
2
соответствует амплитудно-
фазовой модуляции хаотической несущей ведущего осциллятора.
В режиме синхронизации с точностью
μ
2
имеет место равенство
X
1
=
(
I
+
μα (μ
t
))
X
(
t
+
μ1 (μ
t
))
. Если
1 (μ
t
)
=
0
, то имеет место
амплитудная модуляция, а если
α (μ
t
)
=
0
, то фазовая.
Пример 3.
Определим модулятор, задающий фазовую модуляцию
хаотических колебаний осциллятора Лоренца.
Подставляя решение
X
11
=
1
˙
X
=
1
F
в уравнение (24), получаем
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
93
