приближения получаем следующие уравнения:
μ
˙
X
11
=
F
1
−
F
2
−
CX
11
+
μ
∂
F
1
∂
X
X
11
+
∂
F
1
∂
Y
Y
11
;
˙
Y
11
=
∂Φ
∂
Y
Y
11
−
DY
11
+
∂Φ
∂
X
X
11
+
Φ
1
.
(22)
Первое уравнение системы (22) как сингулярно-возмущенное
уравнение имеет устойчивую интегральную поверхность медлен-
ных движений, которая в нулевом приближении имеет следующий
вид:
X
11
=
C
−
1
(
F
1
−
F
)
. Учитывая данное решение, для нахождения
функции
Y
11
решаем второе уравнение системы или соответствующее
ему уравнение в частных производных
∂
Y
11
∂
X
F
+
∂
Y
11
∂
Y
Φ
−
∂Φ
∂
Y
Y
11
+
DY
11
=
∂Φ
∂
X
X
11
+
Φ
1
.
Таким образом, в режиме устойчивой принудительной синхрониза-
ции фазовые переменные ведущего и ведомого осцилляторов связаны
(точность
μ
2
)
уравнениями
X
1
=
X
+
μ
C
−
1
(
F
1
(
X
,
Y
)
−
F
2
(
X
,
Y
))
;
Y
1
=
Y
+
μ
Y
11
,
где
X
=
X
(
t
)
,
Y
=
Y
(
t
)
— решение, соответствующее некоторой тра-
ектории хаотического аттрактора ведущего осциллятора.
Замечание 2
.
Об асимптотической теории синхронизации си-
стем с медленно изменяющимися параметрами.
Допустим, что
X
11
=
X
11
(
X
(
t
) ,
a
)
— некоторое решение соответствующего уравне-
ния для функции первого приближения, где
a
— некоторый постоянный
вектор параметров. Допустим теперь, что
a
=
a
(η)
— гладкая функ-
ция,
˙
η
=
μ
, где
μ
— малый параметр. При этом условии
a
(μ
t
)
—
медленно изменяющийся параметр. В таком случае выражение для
производной решения имеет вид
˙
X
11
=
∂
X
11
∂
X
˙
X
+
∂
X
11
∂
a
∂
a
∂η
μ
. Допустим,
что
μ
∂
X
11
∂
a
∂
a
∂η
< μ
K
(в силу предположения о гладкости правых
частей уравнений осцилляторов по параметрам, частные производные
решений уравнений для функций
X
i j
,
Y
i j
по соответствующим па-
раметрам ограничены [22]). При этом условии выражение
μ
∂
X
11
∂
a
∂
a
∂η
должно быть отнесено к приближению
μ
2
, т.е. в случае медленно из-
меняющихся параметров, уравнения, определяющие функции первого
приближения, являются теми же самыми, что и в случае постоянных
параметров. Это значит, что выводы теории, изложенные для систем
с постоянными параметрами, переносятся на случай систем с медлен-
но изменяющимися параметрами с соответствующей интерпретацией
результатов.
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
