МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
А. В. К а л и н к и н, А. В. М а с т и х и н
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
ГИБЕЛИ
Предложенный в работе
[19]
метод построения незамкнутого ре-
шения первого и второго уравнений Колмогорова для экспоненци-
альной
(
двойной
)
производящей функции переходных вероятностей
применен к одномерному, двухмерному и трехмерному марковским
процессам гибели квадратичного типа. Для производящей функции
переходных вероятностей получены представления в виде рядов
Фурье, использующие обобщенные гипергеометрические функции и
многочлены Якоби.
Аналитический метод исследования марковских процессов с ко-
нечным или счетным множеством состояний основан на рассмотрении
первой (обратной) и второй (прямой) систем дифференциальных урав-
нений Колмогорова для переходных вероятностей [1], [2], [5]. Число
случаев, для которых найдено решение систем уравнений, невелико:
известны решения для процесса простой гибели, процесса чистого ро-
ждения, процессов рождения и гибели линейного или пуассоновского
типов (см. обзор [21], глава 2, § 2.1.1), ветвящихся процессов ([3], гла-
ва 1, § 8) и модификаций перечисленных случаев. “Неблагодарность
решения уравнений Колмогорова” [4] отмечается специалистами в свя-
зи с приложениями теории марковских процессов.
Уравнения процесса простой гибели рассматриваются различны-
ми методами, например в работах [1], [4] применяется операционное
исчисление. Явные выражения для переходных вероятностей имеют
громоздкий вид [1] и малопригодны для исследования асимптотиче-
ских свойств случайного процесса.
При специальных условиях на марковский процесс
вторая систе-
ма дифференциальных уравнений
свертывается с помощью произво-
дящей функции переходных вероятностей, что позволяет представить
систему в виде уравнения в частных производных [21]. В случае урав-
нения первого порядка имеем марковский ветвящийся процесс [3].
В случае второго порядка, исследование уравнения в частных про-
изводных и соответствующего марковского процесса гибели квадра-
тичного типа начато работой [7], в которой ко второму уравнению
Колмогорова применен метод разделения переменных и для произво-
дящей функции переходных вероятностей получен ряд Фурье с двумя
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
45
