разделенными переменными, при этом собственные функции — мно-
гочлены Гегенбауэра.
Таким же методом J. Letessier и G. Valent в цикле работ 1982–
1995 гг. (см. [9], [10], обзор [11] и др.) получили решения в виде рядов
по специальным функциям для уравнений второго, третьего и четвер-
того порядков. В работах [9], [11] и др. даны спектры и собственные
функции для некоторых процессов рождения и гибели квадратично-
го, кубического и биквадратичного типов. Авторы строили ряды для
второго уравнения Колмогорова со все более сложными функциями,
когда уравнение для собственной функции принадлежит классу гипер-
геометрических уравнений (уравнение Фукса второго порядка с тремя
особыми точками) или является обобщенным гипергеометрическим
уравнением.
В работе [10] для процесса рождения и гибели квадратичного ти-
па получено решение второго уравнения в виде ряда Фурье, когда
собственные значения выражаются через эллиптический интеграл и
уравнение для собственной функции принадлежит классу уравнений
Гойна (уравнение Фукса второго порядка с четырьмя особыми точка-
ми, см. [16], гл. 15, § 3).
Числовые коэффициенты в рядах определялись в работах [7, 9, 10]
и др. стандартными для теории рядов Фурье интегральными формула-
ми и во многих случаях остались ненайденными. Исходя из рядов для
переходных вероятностей, неясна возможность делать выводы о пре-
дельных свойствах рассматриваемых марковских процессов. Постро-
ение незамкнутых решений уравнений Колмогорова для процессов
рождения и гибели связано и с проблемой нахождения спектра таких
уравнений [11]. Примеры решений, данные в работах [7], [9–11] и др.,
имеют дискретный спектр; построение примеров точных решений в
случае непрерывного спектра [6] является сложной задачей [5].
В настоящей работе развитие метода разделения переменных при-
менительно к уравнениям Колмогорова связано с введением экспонен-
циальной производящей функции переходных вероятностей [19], [21],
что позволяет свернуть
первую систему дифференциальных уравнений
к уравнению в частных производных. Метод Фурье, применяемый од-
новременно к первому и второму уравнениям, приводит к ряду с тремя
разделенными переменными, и коэффициенты ряда определяются из-
вестными в теории специальных функций разложениями экспоненты.
Даны примеры применения метода для уравнений процессов ги-
бели квадратичного типа на
N
,
N
2
и
N
3
. Найденные ряды содержат
обобщенные гипергеометрические функции и многочлены Якоби. В
последней части работы обсуждается переход от незамкнутых реше-
ний первого и второго уравнений к интегральному представлению
решения.
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
