в виде [21]
∂
F
∂t
=
λz
1
z
2
p
00
F
+
p
10
∂
F
∂z
1
+
p
01
∂
F
∂z
2
−
∂
2
F
∂z
1
∂z
2
,
(17)
∂
F
∂t
=
λ
(
p
00
+
p
10
s
1
+
p
01
s
2
−
s
1
s
2
)
∂
2
F
∂s
1
∂s
2
,
(18)
с начальным условием
F
(0;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
e
z
1
s
1
+
z
2
s
2
.
Обобщенная гипергеометрическая функция определяется рядом
0
F
1
(
b
;
z
) = 1 +
∞
X
k
=1
z
k
b
(
b
+ 1)
. . .
(
b
+
k
−
1)
k
!
(19)
и удовлетворяет уравнению
zy
00
+
by
0
−
y
= 0
.
Функция (19) выражается через модифицированные функции Бесселя
([17], формула 7.13.1(1)):
0
F
1
(
b
;
z
) = Γ(
b
)
z
(1
−
b
)
/
2
I
b
−
1
(2
√
z
)
.
Теорема 2.
Пусть марковский процесс на множестве состоя-
ний
N
2
задан плотностями переходных вероятностей
(16).
Двой-
ная производящая функция переходных вероятностей имеет вид
(
p
10
<
1
, p
01
<
1
)
F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
=
e
p
01
z
1
+
p
10
z
2
∞
X
α
1
,α
2
=0
α
1
+
α
2
max(
α
1
, α
2
)
((1
−
p
01
)
z
1
)
α
1
((1
−
p
10
)
z
2
)
α
2
(
α
1
+
α
2
)!
×
×
0
F
1
(
α
1
+
α
2
+ 1; (1
−
p
01
)(1
−
p
10
)
z
1
z
2
)
×
×
s
σ
−
p
σ
1
−
p
σ
|
α
1
−
α
2
|
P
(
−
1
,
|
α
1
−
α
2
|
)
min(
α
1
,α
2
)
2
s
1
−
p
01
1
−
p
01
s
2
−
p
10
1
−
p
10
−
1
e
−
α
1
α
2
λt
,
(20)
где
0
F
1
(
b
;
z
)
— обобщенная гипергеометрическая функция,
P
(
−
1
,β
)
n
(
x
)
—
многочлены Якоби
;
s
σ
=
s
1
,
p
σ
=
p
01
, если
α
1
≥
α
2
, и
s
σ
=
s
2
,
p
σ
=
p
10
,
если
α
1
< α
2
;
при
α
1
= 0
,
α
2
= 0
выражение
(
α
1
+
α
2
)
/
max(
α
1
, α
2
)
полагается равным
1
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассматриваем уравнения в частных про-
изводных (17), (18). Решение ищем в форме ряда (
|
s
1
|
<
1
,
|
s
2
|
<
1
)
F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
∞
X
α
1
,α
2
=0
A
α
1
α
2
e
C
α
1
α
2
(
z
1
, z
2
)
C
α
1
α
2
(
s
1
, s
2
)
e
−
λ
α
1
α
2
t
.
(21)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
53
