Вводим экспоненциальную (двойную) производящую функцию
F
(
t
;
z
;
s
) =
∞
X
i
=0
z
i
i
!
F
i
(
t
;
s
) =
∞
X
i
=0
,j
=0
z
i
i
!
P
ij
(
t
)
s
j
.
(3)
Функция
F
(
t
;
z
;
s
)
является аналитической в области
|
z
|
<
∞
,
|
s
|
<
1
.
Первая и вторая системы дифференциальных уравнений Колмо-
горова для переходных вероятностей рассматриваемого марковского
процесса получают вид [21]
∂
F
∂t
=
λz
2
p
0
F
+
p
1
∂
F
∂z
−
∂
2
F
∂z
2
+
μz
F −
∂
F
∂z
,
(4)
∂
F
∂t
=
λ
(
p
0
+
p
1
s
−
s
2
)
∂
2
F
∂s
2
+
μ
(1
−
s
)
∂
F
∂s
,
(5)
с начальным условием
F
(0;
z
;
s
) =
e
zs
. Линейные уравнения в частных
производных второго порядка параболического типа (4), (5) решаются
методом разделения переменных [12].
Далее нам потребуются следующие специальные функции (см. [14–
17] и др.). Вырожденная гипергеометрическая функция определяется
рядом (
b
6
= 0
,
−
1
,
−
2
, . . .
)
1
F
1
(
a
;
b
;
z
) = 1 +
∞
X
k
=1
a
(
a
+ 1)
. . .
(
a
+
k
−
1)
z
k
b
(
b
+ 1)
. . .
(
b
+
k
−
1)
k
!
(6)
и удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравнению
zy
00
+ (
b
−
z
)
y
0
−
ay
= 0
.
(7)
Функция (6) является аналитической на всей комплексной плос-
кости; при некоторых значениях параметров они выражаются через
модифицированные функции Бесселя ([17], формулы 7.11.1(5)):
1
F
1
(
a
; 2
a
;
z
) = Γ
a
+
1
2
z
4
1
/
2
−
a
e
z/
2
I
a
−
1
/
2
z
2
,
где
Γ(
α
)
— гамма-функция.
Многочлен Якоби порядка
n
определяется выражением ([15],
§ 10.8)
P
(
α,β
)
n
(
x
) =
=
n
X
k
=0
(
α
+
n
−
k
+ 1)
. . .
(
α
+
n
)(
β
+
k
+ 1)
. . .
(
β
+
n
)
2
n
k
!(
n
−
k
)!
(
x
+1)
k
(
x
−
1)
n
−
k
,
n
= 0
,
1
, . . . ,
и является единственным полиномиальным решением
дифференциального (гипергеометрического) уравнения
(1
−
x
2
)
y
00
+ (
β
−
α
−
(
α
+
β
+ 2)
x
)
y
0
+
n
(
n
+
α
+
β
+ 1)
y
= 0
.
(8)
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
