Следовательно, каждому
λ
n
соответствует “собственная функция”
C
n
(
s
) =
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
n
2
s
−
1 +
p
0
1 +
p
0
,
где
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
n
(
x
) =
=
n
X
k
=0
(
n
−
k
)
. . .
(
n
−
1)(
μ/λ
+
k
)
. . .
(
μ/λ
+
n
−
1)
2
n
k
!(
n
−
k
)!
(
x
+1)
k
(
x
−
1)
n
−
k
.
(14)
Соответственно, уравнение (12) принимает вид
λz
2
(
p
0
e
C
n
(
z
) +
p
1
e
C
0
n
(
z
)
−
e
C
00
n
(
z
)) +
μz
(
e
C
n
(
z
)
−
e
C
0
n
(
z
))+
+ (
n
(
n
−
1)
λ
+
nμ
)
e
C
n
(
z
) = 0
и представляет собой одну из приведенных форм вырожденного ги-
пергеометрического уравнения (7) ([14], см. уравнение 2.273(6) при
a
=
−
p
1
,
b
=
μ/λ
,
α
=
−
p
0
,
β
=
−
μ/λ
,
γ
=
−
n
(
n
−
1)
−
nμ/λ
). Из
условий на производящую функцию следует, что нас интересует ре-
шение, аналитическое на всей комплексной плоскости. Cледуя работе
[14],
e
C
n
(
z
) = ((1 +
p
0
)
z
)
n
e
−
p
0
z
1
F
1
(
n
+
μ/λ
; 2
n
+
μ/λ
; (1 +
p
0
)
z
)
,
где
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
— вырожденная гипергеометрическая функция. Таким
образом, искомый ряд (11) имеет вид
F
(
t
;
z
;
s
) =
∞
X
n
=0
A
n
((1 +
p
0
)
z
)
n
e
−
p
0
z
×
×
1
F
1
(
n
+
μ/λ
; 2
n
+
μ/λ
; (1 +
p
0
)
z
)
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
n
×
×
2
s
−
1 +
p
0
1 +
p
0
e
−
(
n
(
n
−
1)
λ
+
nμ
)
t
.
Значения
A
n
определяются из сравнения начального условия
F
(0;
z
;
s
) =
e
zs
с разложением для экспоненты (9):
e
zs
=
∞
X
n
=0
Γ(
n
−
1 +
μ/λ
)
Γ(2
n
−
1 +
μ/λ
)
((1 +
p
0
)
z
)
n
e
−
p
0
z
×
×
1
F
1
(
n
+
μ/λ
; 2
n
+
μ/λ
; (1 +
p
0
)
z
)
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
n
2
s
−
1 +
p
0
1 +
p
0
.
(15)
Получаем
A
n
= Γ(
n
−
1 +
μ/λ
)
/
Γ(2
n
−
1 +
μ/λ
)
и приходим к выра-
жению (10). Сходимость ряда (10) при любых
z
,
s
и
t
2
[0
,
∞
)
следует
из сходимости разложения (15). Теорема доказана.
При
t
= 0
формула (10) есть разложение в ряд экспоненты
e
zs
.
В случае
μ >
0
,
p
0
= 1
, имеем разложение по многочленам Якоби.
50
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
