Предварительные результаты приведены в работах [18], [20],
[22, 23].
Обобщенный марковский процесс гибели квадратичного типа.
На множестве состояний
N
=
{
0
,
1
,
2
, . . .
}
рассматривается однород-
ный во времени марковский процесс
ξ
t
,
t
2
[0
,
∞
)
, с переходными
вероятностями
P
ij
(
t
) = P
{
ξ
t
=
j
|
ξ
0
=
i
}
,
i, j
2
N
. Пусть при
t
→
0+
переходные вероятности имеют вид (
λ
≥
0
,
μ
≥
0
)
P
i,i
−
2
(
t
) =
i
(
i
−
1)
λp
0
t
+
o
(
t
)
,
P
i,i
−
1
(
t
) = (
i
(
i
−
1)
λp
1
+
iμ
)
t
+
o
(
t
)
,
P
ii
(
t
) = 1
−
(
i
(
i
−
1)
λ
+
iμ
)
t
+
o
(
t
)
, P
ij
(
t
) =
o
(
t
)
,
(1)
если
j
6
=
i
−
2
, i
−
1
, i
. Здесь
p
0
≥
0
,
p
1
≥
0
,
p
0
+
p
1
= 1
. Введем
производящие функции (
|
s
| ≤
1
)
F
i
(
t
;
s
) =
∞
X
j
=0
P
ij
(
t
)
s
j
, i
2
N.
Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмого-
рова для переходных вероятностей в случае процесса
ξ
t
равносильна
уравнению в частных производных [21]
∂F
i
(
t
;
s
)
∂t
=
λ
(
p
0
+
p
1
s
−
s
2
)
∂
2
F
i
(
t
;
s
)
∂s
2
+
μ
(1
−
s
)
∂F
i
(
t
;
s
)
∂s
,
(2)
с начальным условием
F
i
(0;
s
) =
s
i
.
Возможные скачки случайного процесса
ξ
t
изображены на рис. 1.
В начальном состоянии
i
марковский процесс находится случайное
время
τ
i
,
P
{
τ
i
≤
t
}
= 1
−
e
−
(
i
(
i
−
1)
λ
+
iμ
)
t
. Затем процесс переходит в
состояние
i
−
1
с вероятностью
(
p
1
i
(
i
−
1)
λ
+
iμ
)
/
(
i
(
i
−
1)
λ
+
iμ
)
или в состояние
i
−
2
с вероятностью
p
0
i
(
i
−
1)
λ/
(
i
(
i
−
1)
λ
+
iμ
)
.
Далее аналогичная эволюция процесса гибели. Состояние
0
является
поглощающим.
Марковский процесс
ξ
t
интерпретируется как модель бимолекуляр-
ной химической реакции с кинетической схемой
2
T
→
0
, T
;
T
→
0
[7], [21].
Рис. 1. Скачки обобщенного процесса гибели
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
47
