Далее потребуется разложение экспоненты ([15], § 10.20, форму-
ла (4))
e
zx
=
∞
X
n
=0
Γ(
n
+
α
+
β
+ 1)
Γ(2
n
+
α
+
β
+ 1)
(2
z
)
n
×
×
e
−
z
1
F
1
(
n
+
β
+ 1; 2
n
+
α
+
β
+ 2; 2
z
)
P
(
α,β
)
n
(
x
)
.
(9)
Теорема 1.
Пусть марковский процесс на множестве состояний
N
задан плотностями переходных вероятностей
(1).
Двойная произ-
водящая функция переходных вероятностей имеет вид
(
λ >
0
,
μ
≥
0
)
F
(
t
;
z
;
s
) =
∞
X
n
=0
Γ(
n
−
1 +
μ/λ
)
Γ(2
n
−
1 +
μ/λ
)
((1 +
p
0
)
z
)
n
e
−
p
0
z
×
×
1
F
1
(
n
+
μ/λ
; 2
n
+
μ/λ
; (1 +
p
0
)
z
)
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
n
×
×
2
s
−
1 +
p
0
1 +
p
0
e
−
(
n
(
n
−
1)
λ
+
nμ
)
t
,
(10)
где
Γ(
α
)
— гамма-функция,
1
F
1
(
a, b
;
z
)
— вырожденная гипергеоме-
трическая функция,
P
(
−
1
,β
)
n
(
x
)
— многочлены Якоби.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Решение системы уравнений (4), (5)
ищем в форме ряда с тремя разделенными переменными (
|
s
|
<
1
):
F
(
t
;
z
;
s
) =
∞
X
n
=0
A
n
e
C
n
(
z
)
C
n
(
s
)
e
−
λ
n
t
.
(11)
Подставив выражение (11) в уравнения (4) и (5), получаем уравнения
для функций
e
C
n
(
z
)
и
C
n
(
s
)
:
λz
2
(
p
0
e
C
n
(
z
) +
p
1
e
C
0
n
(
z
)
−
e
C
00
n
(
z
)) +
μz
(
e
C
n
(
z
)
−
e
C
0
n
(
z
)) +
λ
n
e
C
n
(
z
) = 0
,
(12)
λ
(
p
0
+
p
1
s
−
s
2
)
C
00
n
(
s
) +
μ
(1
−
s
)
C
0
n
(
s
) +
λ
n
C
n
(
s
) = 0
, n
= 0
,
1
, . . . .
(13)
Дифференциальные уравнения (12) и (13), в случае
μ
= 0
и
p
0
= 0
или
p
0
= 1
, исследовались в работе [7], следуя которой показывается,
исходя из условий на рассматриваемый марковский процесс, что для
уравнения (13) имеет место краевое условие “
C
n
(
s
)
есть многочлен”.
Тогда последовательность “собственных значений”
λ
n
=
n
(
n
−
1)
λ
+
+
nμ
,
n
= 0
,
1
, . . .
([14], часть II, гл. 3, § 9.7). В уравнении (13) делаем
замену переменной
x
= (2
s
−
1 +
p
0
)
/
(1 +
p
0
)
; вводим функцию
y
(
x
)
такую, что
C
n
(
s
) =
y
(
x
)
. Тогда уравнение (13) получает вид уравне-
ния (8):
(1
−
x
2
)
y
00
+
μ
λ
−
μ
λ
x y
0
+
n n
−
1 +
μ
λ
y
= 0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
49
