Метод разделения переменных для уравнений марковских процессов гибели - page 10

Подставив выражение (21) в уравнения (17) и (18), получаем уравне-
ния для функций
e
C
α
1
α
2
(
z
1
, z
2
)
и
C
α
1
α
2
(
s
1
, s
2
)
:
λz
1
z
2
p
00
e
C
α
1
α
2
+
p
10
e
C
α
1
α
2
∂z
1
+
p
01
e
C
α
1
α
2
∂z
2
2
e
C
α
1
α
2
∂z
1
∂z
2
+
+
λ
α
1
α
2
e
C
α
1
α
2
= 0;
(22)
λ
(
p
00
+
p
10
s
1
+
p
01
s
2
s
1
s
2
)
2
C
α
1
α
2
∂s
1
∂s
2
+
λ
α
1
α
2
C
α
1
α
2
= 0;
α
1
, α
2
= 0
,
1
, . . . .
(23)
Из условий для скачков процесса
ξ
(
t
)
следует, что для уравне-
ния (23) имеет место краевое условие “
C
α
1
α
2
(
s
1
, s
2
)
есть многочлен”.
Тогда последовательность “собственных значений”
λ
α
1
α
2
=
α
1
α
2
λ
,
α
1
, α
2
= 0
,
1
, . . . ,
и из уравнения (23) нетрудно найти соответству-
ющую “собственную функцию”
C
α
1
α
2
(
s
1
, s
2
) =
s
σ
p
σ
1
p
σ
|
α
1
α
2
|
P
(
1
,
|
α
1
α
2
|
)
min(
α
1
2
)
2
s
1
p
01
1
p
01
s
2
p
10
1
p
10
1
,
где
P
(
1
)
n
(
x
)
— многочлены Якоби;
s
σ
=
s
1
,
p
σ
=
p
01
, если
α
1
α
2
и
s
σ
=
s
2
,
p
σ
=
p
10
, если
α
1
< α
2
. Соответственно, уравнение (22)
принимает вид
z
1
z
2
p
00
e
C
α
1
α
2
+
p
10
e
C
α
1
α
2
∂z
1
+
p
01
e
C
α
1
α
2
∂z
2
2
e
C
α
1
α
2
∂z
1
∂z
2
+
α
1
α
2
e
C
α
1
α
2
= 0
.
Из условий для функции
F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
)
следует, что нас интересует
аналитическое решение при любых
z
1
, z
2
:
e
C
α
1
α
2
(
z
1
, z
2
) = ((1
p
01
)
z
1
)
α
1
((1
p
10
)
z
2
)
α
2
×
×
e
p
01
z
1
+
p
10
z
2
0
F
1
(
α
1
+
α
2
+ 1; (1
p
01
)(1
p
10
)
z
1
z
2
)
,
где
0
F
1
(
b
;
z
)
— обобщенная гипергеометрическая функция.
Для определения значений
A
α
1
α
2
получим разложение экспоненты
e
z
1
s
1
+
z
2
s
2
. Исходя из определения гипергеометрической функции (19)
устанавливается равенство
e
z
1
+
z
2
=
0
F
1
(1;
z
1
z
2
) +
X
k
=1
z
k
1
k
!
+
z
k
2
k
!
0
F
1
(
k
+ 1;
z
1
z
2
)
.
(24)
Для рассматриваемых специальных функций справедливы соотноше-
ния ([17], формула 6.8.3.13):
0
F
1
(1;
zs
) =
0
F
1
(1;
z
) + 2
X
l
=1
z
l
(2
l
)!
0
F
1
(2
l
+ 1;
z
)
P
(
1
,
0)
l
(2
s
1);
(25)
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
1,2,3,4,5,6,7,8,9 11,12,13,14,15,16,17,18,19
Powered by FlippingBook