Метод разделения переменных для уравнений марковских процессов гибели - page 10

Подставив выражение (21) в уравнения (17) и (18), получаем уравне-
ния для функций e
C α1α 2( z1 , z2 ) и Cα 1α2 (s1 , s2 ) :
λz1 z2 p00 e
Cα 1α2 + p10
∂ e
C α1α 2
∂z1
+ p01
∂ e
Cα 1α2
∂z2 −
∂ 2 e
Cα1 α2
∂z1 ∂z2
+
+ λα1α 2 e
C α1α 2 = 0; (22)
λ( p00 + p10 s1 + p01 s2 − s1 s2 )
∂ 2C α1α 2
∂s 1 ∂s2
+ λα1α 2C α1α 2 = 0;
α1 , α2 = 0, 1, . . . .
(23)
Из условий для скачков процесса ξ (t) следует, что для уравне-
ния (23) имеет место краевое условие “Cα1 α2 (s1 , s2 ) есть многочлен”.
Тогда последовательность “собственных значений” λα1α 2 = α1 α2 λ,
α1 , α2 = 0, 1, . . . , и из уравнения (23) нетрудно найти соответству-
ющую “собственную функцию”
C α1α 2( s1 , s2 ) =
sσ − pσ
1 − pσ
|α 1−α 2| P (−1,| α1−α2 |)
min( α1,α2) 2
s1 − p01
1 − p01
s2 − p10
1 − p10 − 1 ,
где P (−1,β )
n (x) — многочлены Якоби; sσ = s1 , pσ = p01 , если α1 ≥ α2
и sσ = s2 , pσ = p10 , если α1 < α2. Соответственно, уравнение (22)
принимает вид
z1 z2 p00 e
Cα 1α2 + p10
∂ e
C α1α 2
∂z 1
+ p01
∂ e
Cα 1α2
∂z2 −
∂ 2 e
C α1α 2
∂z1 ∂z2
+ α 1α 2 e
Cα1α 2 = 0.
Из условий для функции F ( t; z 1, z2 ; s1, s2 ) следует, что нас интересует
аналитическое решение при любых z1 , z2:
e
Cα 1α2 ( z1 , z2 ) = ((1 − p01 )z 1 )α 1((1 − p10 )z 2) α2 ×
× e p01 z1+p10 z2
0 F1 ( α1 + α 2 + 1; (1 − p01 )(1 − p10 ) z1 z2 ) ,
где 0 F1( b; z ) — обобщенная гипергеометрическая функция.
Для определения значений Aα 1α2 получим разложение экспоненты
ez1s1 +z2s2 . Исходя из определения гипергеометрической функции (19)
устанавливается равенство
e z1+z2 = 0 F1 (1; z1 z2 ) +
∞ Xk=1
z k
1
k !
+
z k
2
k ! 0 F1 (k + 1; z 1 z2 ). (24)
Для рассматриваемых специальных функций справедливы соотноше-
ния ([17], формула 6.8.3.13):
0F1 (1; zs) = 0 F1 (1; z ) + 2
∞ Xl=1
z l
(2 l)! 0 F1(2 l + 1; z ) P (−1,0)
l (2 s − 1); (25)
54 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2