В случае
μ
= 0
,
p
0
= 1
, имеем разложение Сонина ([15], § 7.10.1,
формула (5)).
Из выражения (6) имеем
1
F
1
(
μ/λ
;
μ/λ
;
z
) =
e
z
= 1 +
z
+
z
2
/
2 +
+
. . . ,
1
F
1
(1 +
μ/λ
; 2 +
μ/λ
;
z
) = 1 + ((1 +
μ/λ
)
/
(2 +
μ/λ
))(1 +
+
p
0
)
z
+
. . . ,
1
F
1
(2 +
μ/λ
; 4 +
μ/λ
;
z
) = 1 +
. . . ,
и из выражения
(14) имеем
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
0
(
x
) = 1
;
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
1
(
x
) = (
μ/
(2
λ
))(
x
−
1)
;
P
(
−
1
,μ/λ
−
1)
2
(
x
) = ((1 +
μ/λ
)
/
8)[(2 +
μ/λ
)
x
2
−
(2
μ/λ
)
x
−
2 +
μ/λ
]
. Под-
ставляя в формулу (10) указанные выражения и приравнивая коэф-
фициенты при степенях
1
, z, zs, z
2
, z
2
s, z
2
s
2
в получившемся ряде и
определении (3), находим переходные вероятности
P
00
(
t
) = 1;
P
10
(
t
) = 1
−
e
−
μt
;
P
11
(
t
) =
e
−
μt
;
P
20
(
t
) = 1
−
2
h
1 +
μ/λ
2 +
μ/λ
(1 +
p
0
)
−
p
0
i
e
−
μt
+
+
1
4
h
−
2 +
μ/λ
2 +
μ/λ
(1 +
p
0
)
2
−
2
μ/λ
2 +
μ/λ
(
−
1 +
p
2
0
) + (
−
1 +
p
0
)
2
i
e
−
(2
λ
+2
μ
)
t
;
P
21
(
t
) = 2
h
1 +
μ/λ
2 +
μ/λ
(1 +
p
0
)
−
p
0
i
e
−
μt
−
−
h
μ/λ
2 +
μ/λ
(1 +
p
0
) + 1
−
p
0
i
e
−
(2
λ
+2
μ
)
t
;
P
22
(
t
) =
e
−
(2
λ
+2
μ
)
t
.
Эти выражения для
P
ij
(
t
)
могут быть получены при указанных зна-
чениях
i, j
непосредственным решением системы дифференциальных
уравнений Колмогорова [1] для рассматриваемого обобщенного про-
цесса гибели.
Двухмерный процесс гибели квадратичного типа.
Рассматрива-
ется однородный во времени марковский процесс
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
на множестве состояний
N
2
=
{
(
α
1
, α
2
)
, α
1
, α
2
= 0
,
1
, . . .
}
, переход-
ные вероятности
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
) = P
{
ξ
(
t
) = (
β
1
, β
2
)
|
ξ
(0) = (
α
1
, α
2
)
}
которого представимы при
t
→
0+
в виде (
λ >
0
)
P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
−
1
,α
2
−
1)
(
t
) =
p
00
α
1
α
2
λt
+
o
(
t
)
, P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
,α
2
−
1)
(
t
) =
p
10
α
1
α
2
λt
+
o
(
t
)
,
P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
−
1
,α
2
)
(
t
) =
p
01
α
1
α
2
λt
+
o
(
t
)
, P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
,α
2
)
(
t
) = 1
−
α
1
α
2
λt
+
o
(
t
)
,
(16)
где
p
00
≥
0
,
p
10
≥
0
,
p
01
≥
0
,
p
00
+
p
10
+
p
01
= 1
. С помощью произво-
дящей функции (
|
s
1
| ≤
1
,
|
s
2
| ≤
1
)
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
) =
∞
X
β
1
,β
2
=0
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
)
s
β
1
1
s
β
2
2
,
(
α
1
, α
2
)
2
N
2
,
вторая система дифференциальных уравнений для переходных веро-
ятностей марковского процесса
(
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
записывается в виде урав-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
51
