Заключение.
Рассмотренная модификация метода разделения пе-
ременных, применительно к первому и второму уравнениям Колмо-
горова, может быть использована для других марковских процессов
гибели. Для примера укажем на процесс простой гибели полиноми-
ального типа, в котором
ϕ
i
=
i
(
i
−
1)
. . .
(
i
−
k
+ 1)
λ
(
k
= 3
,
4
, . . .
);
уравнения для двойной производящей функции имеют вид
∂
F
∂t
=
λz
k
∂
k
−
1
F
∂z
k
−
1
−
∂
k
F
∂z
k
,
∂
F
∂t
=
λ
(
s
k
−
1
−
s
k
)
∂
k
F
∂s
k
,
с начальным условием
F
(0;
z
;
s
) =
e
zs
.
Аналогичным образом, к ряду с тремя разделенными переменны-
ми приводит решение первого и второго уравнений для переходных
вероятностей процесса чистого рождения и обобщенных процессов
рождения. Например, для приложений представляет интерес процесс
чистого рождения квадратичного типа на
N
2
[8], [5]; уравнения для
двойной производящей функции имеют вид
∂
F
∂t
=
λz
1
z
2
∂
3
F
∂z
2
1
∂z
2
−
∂
2
F
∂z
1
∂z
2
+
μz
2
∂
2
F
∂z
2
2
−
∂
F
∂z
2
,
∂
F
∂t
=
λ
(
s
2
1
s
2
−
s
1
s
2
)
∂
2
F
∂s
1
∂s
2
+
μ
(
s
2
2
−
s
2
)
∂
F
∂s
1
,
с начальным условием
F
(0;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
e
z
1
s
1
+
z
2
s
2
.
Сложной задачей является развитие изложенного метода на случай
марковских процессов рождения и гибели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В. Введение в теорию случайных про-
цессов. – М.: Наука, 1977. – 568 с.
2. Б а р у ч а - Р и д А. Т. Элементы теории марковских процессов и их прило-
жения. – М.: Наука, 1969. – 512 с.
3. С е в а с т ь я н о в Б. А. Ветвящиеся процессы. – М.: Наука, 1971. – 436 с.
4. Р ы к о в В. В. Обобщенные процессы рождения и гибели и модели старения //
Автоматика и телемеханика. – 2006. – Вып. 3. – С. 103–120.
5. A n d e r s o n W. J. Continuous-time Markov chains: An applications-oriented
approach. – Berlin: Springer-Verlag, 1991. – 442 p.
6. L e d e r m a n W., R e u t e r G. E. H. Spectral theory for the differential
equations of simple birth and death processes // Phil. Trans. of the Royal Sotiety
of London. Ser. A. – 1954. – V. 246. – P. 321–369.
7. M c Q u a r r i e D. A., J a c h i m o w c k i C. J., R u s s e l M. E. Kinetic of
small system. II // J. Chim. Phys. – 1964. – V. 40, № 10. – P. 2914–2921.
8. B e c k e r N. G.
Interactions between spesies: some comparisous between
deterministic and stochastic models // Rocky Mountain J. Math. – 1973. – V. 3.
– P. 53–68.
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
