F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
, s
3
) =
=
∞
X
α
1
,α
2
=0
α
1
+
α
2
max(
α
1
, α
2
)
z
α
1
1
z
α
2
2
(
α
1
+
α
2
)!
0
F
1
(
α
1
+
α
2
+ 1;
z
1
z
2
s
3
)
×
×
s
|
α
1
−
α
2
|
σ
s
min(
α
1
,α
2
)
3
P
(
−
1
,
|
α
1
−
α
2
|
)
min(
α
1
,α
2
)
2
s
1
s
2
s
3
−
1
e
−
α
1
α
2
λt
,
(32)
где
0
F
1
(
b
;
z
)
— обобщенная гипергеометрическая функция,
P
(
−
1
,β
)
n
(
x
)
— многочлены Якоби
;
s
σ
=
s
1
, если
α
1
≥
α
2
, и
s
σ
=
s
2
, если
α
1
< α
2
;
при
α
1
= 0
,
α
2
= 0
выражение
(
α
1
+
α
2
)
/
max(
α
1
, α
2
)
полагается
равным
1
.
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2,
система уравнений (30), (31) решается методом разделения перемен-
ных. В частности, если в формуле (20) положить
p
10
=
p
01
= 0
(т.е.
p
00
= 1
), и в формуле (32) положить
s
3
= 1
, то указанные формулы
совпадают.
Процесс простой гибели, нелинейное свойство переходных ве-
роятностей марковского ветвящегося процесса и вывод замкну-
тых решений уравнений Колмогорова.
Рассматривается марковский
процесс
ξ
t
,
t
2
[0
,
∞
)
, на множестве состояний
N
=
{
0
,
1
,
2
, . . .
}
; пе-
реходные вероятности
P
ij
(
t
)
,
i, j
2
N
, представимы при
t
→
0+
в
виде [1]
P
i,i
−
1
(
t
) =
ϕ
i
t
+
o
(
t
)
, P
ii
(
t
) = 1
−
ϕ
i
t
+
o
(
t
)
,
(33)
где заданы
ϕ
0
= 0
, ϕ
i
>
0
при
i
= 1
,
2
, . . . .
Скачок процесса гибели
ξ
t
изображен на рис. 4. В начальном состо-
янии
i
процесс находится случайное время
τ
i
,
P
{
τ
i
≤
t
}
= 1
−
e
−
ϕ
i
t
. В
момент
τ
i
происходит переход процесса в состояние
i
−
1
и так далее.
Первая и вторая системы дифференциальных уравнений для пере-
ходных вероятностей процесса
ξ
t
, после свертки двойной производя-
щей функцией (
|
s
| ≤
1
)
F
(
t
;
z, s
) =
∞
X
i
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
F
i
(
t
;
s
)
, F
i
(
t
;
s
) =
∞
X
j
=0
P
ij
(
t
)
s
j
, i
2
N,
(34)
получают вид [21]
∂
F
∂t
=
z
(
F −
D
z
(
F
))
,
(35)
Рис. 4. Скачки процесса простой гибели
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
