×
e
−
ϕ
n
t
(
ϕ
i
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
)(
ϕ
n
−
1
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
j
−
ϕ
n
)
s
j
=
=
∞
X
n
=0
e
−
ϕ
n
t
ϕ
1
. . . ϕ
n
z
n
+
∞
X
i
=
n
+1
z
i
(
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
i
−
ϕ
n
)
×
×
s
n
+
n
−
1
X
j
=0
ϕ
j
+1
. . . ϕ
n
(
ϕ
j
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
n
−
1
−
ϕ
n
)
s
j
.
Сходимость ряда для
F
(
t
;
z
;
s
)
следует из оценки
∞
X
i
=0
∞
X
j
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
P
ij
(
t
)
s
j
≤
≤
∞
X
i
=0
∞
X
j
=0
|
z
|
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
|
s
|
j
≤
1
1
− |
s
|
∞
X
i
=0
|
z
|
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
<
∞
для любых
z
и
|
s
|
<
1
. Теорема 4 доказана.
Таким образом, решение (37) системы уравнений Колмогорова
(35), (36) имеет вид ряда с тремя разделенными переменными. При
t
= 0
получаем разложение функции
e
(
zs
) =
∞
X
n
=0
1
ϕ
1
. . . ϕ
n
e
C
n
(
z
)
C
n
(
s
);
функции
e
C
n
(
z
)
и
C
n
(
s
)
связаны интегральным преобразованием.
Важным частным случаем является процесс гибели линейного ти-
па, в котором
ϕ
i
=
iμ
,
i
2
N
(
μ >
0
). Тогда
D
z
=
μ
(
d/dz
)
, и про-
изводящая функция переходных вероятностей
F
i
(
t
;
s
)
удовлетворяет
уравнению [3], [5] (ср. уравнение (2) при
λ
= 0
):
∂F
i
(
t
;
s
)
∂t
=
μ
(1
−
s
)
∂F
i
(
t
;
s
)
∂s
,
(39)
с начальным условием
F
i
(
t
;
s
) =
s
i
. Для процесса линейного типа ряд
(37) легко суммируется, и выражение для
F
(
t
;
z
;
s
)
получает вид
F
(
t
;
z
;
s
) =
∞
X
n
=0
(
z/μ
)
n
n
!
e
z/μ
(
s
−
1)
n
e
−
nμt
=
e
(
z/μ
)(1+(
s
−
1)
e
−
μt
)
.
(40)
Из определения
F
(
t
;
z, s
) =
∞
P
i
=0
(
z
i
/
(
μ
i
i
!))
F
i
(
t
;
s
)
и разложения
функции (40) по степеням
z
, приравнивая коэффициенты при степе-
нях
z
i
, получаем
свойство ветвления
переходных вероятностей ([3],
гл. 1)
F
i
(
t
;
s
) = (1
−
e
−
μt
+
s e
−
μt
)
i
=
F
i
1
(
t
;
s
)
, i
2
N.
(41)
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
