Непосредственное решение линейного уравнения в частных производ-
ных первого порядка (39) методом характеристик приводит к выраже-
нию (41) (см., например, [5], § 3.2).
Нелинейное свойство переходных вероятностей (41) позволяет рас-
сматривать
процесс гибели частиц
: в момент времени
t
= 0
имеется
i
тождественных частиц, каждая из которых существует случайное вре-
мя
τ
(
k
)
,
P
{
τ
(
k
)
≤
t
}
= 1
−
e
−
μt
; величины
τ
(
k
)
,
k
= 1
, . . . , i
, независимы
(гибель одной из этих частиц соответствует переходу марковского про-
цесса
ξ
t
из состояния
i
в состояние
i
−
1
и так далее).
Для марковских процессов, обладающих свойством ветвления,
построен мощный аналитический аппарат их исследования [3]. Тем
самым, для процесса простой гибели ставится задача вывода не-
линейного свойства переходных вероятностей, обобщающего свой-
ство (41), что сводится к аналитической проблеме суммирования ряда
Фурье (37) — при тех или иных предположениях о функции
ϕ
i
=
ϕ
(
i
)
,
i
2
N
.
Для процесса гибели квадратичного типа, в котором
ϕ
i
=
i
(
i
−
1)
λ
(
D
z
=
λz
(
d
2
/dz
2
)
), ряд (37) (т.е. ряд (10) при
λ >
0
,
μ
= 0
,
p
1
= 1
)
суммирован в работах [19], [21] с помощью теоремы сложения Ге-
генбауэра ([15], § 7.6.1) к замкнутому представлению для двойной
производящей функции переходных вероятностей
F
(
t
;
z
;
s
)
. Получено
интегральное представление для
F
i
(
t
;
s
)
, аналогичное по своей струк-
туре выражению (41).
Для обобщенного процесса гибели квадратичного типа (
λ >
0
,
μ >
0
) также возможно получить замкнутое решение уравнений Кол-
могорова (4), (5) методами, изложенными в работах [19], [21]. Ряд
(10) рассматривается с целью суммирования и вывода нелинейного
свойства переходных вероятностей
F
i
(
t
;
s
) = M(
X
t
+
sY
t
)
i
, i
2
N,
(42)
где
X
t
, Y
t
— некоторые взаимосвязанные случайные процессы.
Для двухмерного процесса гибели квадратичного типа ряд (20)
рассматривается с целью вывода путем суммирования ряда замкну-
того решения системы (17), (18) в виде, аналогичном нелинейному
свойству (41):
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
) = M(
X
t
+
s
1
Y
t
)
α
1
(
Z
t
+
s
2
U
t
)
α
2
,
(
α
1
, α
2
)
2
N
2
,
(43)
где
X
t
,
Y
t
,
Z
t
,
U
t
— некоторые взаимосвязанные случайные процессы.
Возможность вывода интегральных представлений вида (42), (43)
детально обсуждается в гл. 5 работы [21]. Формулы, подобные (42),
(43), получены для процесса эпидемии — марковского процесса гибели
квадратичного типа на множестве состояний
N
3
[24].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
61
