∂
F
∂t
= (1
−
s
)
D
s
(
F
)
,
(36)
с начальным условием
F
(0;
z
;
s
) =
e
(
zs
)
. Здесь применяется оператор
Гельфонда–Леонтьева [13] обобщенного дифференцирования
D
z
∞
X
i
=0
a
i
z
i
=
∞
X
i
=1
a
i
ϕ
i
z
i
−
1
,
определенный на аналитических в окрестности нуля функциях. Функ-
ция
e
(
z
) = 1 +
∞
X
i
=1
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
является собственной функцией для оператора
D
z
,
D
z
(
e
(
z
)) =
e
(
z
)
.
Теорема 4
[21]
.
Пусть марковский процесс гибели на множе-
стве состояний
N
задан плотностями переходных вероятностей
(33),
ϕ
i
+1
> ϕ
i
,
i
2
N
, и
lim
i
→∞
ϕ
i
=
∞
.
Двойная производящая
функция переходных вероятностей представима рядом Фурье
F
(
t
;
z
;
s
) =
∞
X
n
=0
1
ϕ
1
. . . ϕ
n
e
C
n
(
z
)
C
n
(
s
)
e
−
ϕ
n
t
,
(37)
где
e
C
n
(
z
) =
z
n
+
∞
X
k
=1
z
n
+
k
(
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
n
+
k
−
ϕ
n
)
,
C
n
(
s
) =
s
n
+
n
−
1
X
k
=0
ϕ
k
+1
. . . ϕ
n
(
ϕ
k
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
n
−
1
−
ϕ
n
)
s
k
.
Ряд
(37)
абсолютно сходится при любых
z
,
|
s
|
<
1
и
t
2
[0
,
∞
)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выражения для переходных вероятностей
процесса простой гибели известны [1]:
P
0
j
(
t
) =
δ
0
j
, j
2
N
;
P
ij
(
t
) = 0
при
j > i
≥
1;
при
j
≤
i
P
ij
(
t
) =
=
ϕ
j
+1
. . . ϕ
i
i
X
n
=
j
e
−
ϕ
n
t
(
ϕ
i
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
)(
ϕ
n
−
1
−
ϕ
n
)
. . .
(
ϕ
j
−
ϕ
n
)
.
(38)
Используем определение двойной производящей функции (34) и (38):
F
(
t
;
z
;
s
) =
∞
X
i
=0
∞
X
j
=0
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
i
P
ij
(
t
)
s
j
=
∞
X
i
=0
i
X
j
=0
i
X
n
=
j
z
i
ϕ
1
. . . ϕ
j
×
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
59
