Дадим выражения для
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
)
при начальных значениях
α
1
, α
2
, β
1
, β
2
. Из выражения (19) имеем
0
F
1
(1;
z
) = 1 +
z
+
. . . ,
0
F
1
(2;
z
) = 1 +
z/
2 +
. . . ,
0
F
1
(3;
z
) = 1 +
. . . ,
0
F
1
(4;
z
) = 1 +
+
. . . ,
и из выражения (14) имеем
P
(
−
1
,
0)
0
(
x
) = 1
,
P
(
−
1
,
1)
0
(
x
) = 1
,
P
(
−
1
,
0)
1
(
x
) = (1
/
2)(
x
−
1)
,
P
(
−
1
,
1)
1
(
x
) =
x
−
1
. Подставляя эти функции
в формулу (20), вместе с разложением экспоненты
e
p
01
z
1
+
p
10
z
2
= 1 +
+
p
01
z
1
+
p
10
z
2
+
p
2
01
z
2
1
/
2 +
p
01
p
10
z
1
z
2
+
p
2
10
z
2
2
/
2 +
. . . ,
и приравнивая
коэффициенты при степенях
1
, z
1
, z
1
s
1
, z
2
, z
2
s
2
, . . . , z
1
z
2
2
s
2
2
, z
1
z
2
2
s
1
s
2
2
в
получившемся ряде и при определении двойной производящей функ-
ции переходных вероятностей, находим:
P
(0
,
0)
(0
,
0)
(
t
) = 1
, P
(1
,
0)
(0
,
0)
(
t
) = 0
, P
(1
,
0)
(1
,
0)
(
t
) = 1
, P
(0
,
1)
(0
,
0)
(
t
) = 0
, P
(0
,
1)
(0
,
1)
(
t
) = 1
,
P
(1
,
1)
(0
,
0)
(
t
) =
p
00
(1
−
e
−
λt
)
, P
(1
,
1)
(1
,
0)
(
t
) =
p
10
(1
−
e
−
λt
)
, P
(1
,
1)
(0
,
1)
(
t
)=
p
01
(1
−
e
−
λt
)
,
P
(1
,
1)
(1
,
1)
(
t
) =
e
−
λt
, P
(0
,
2)
(0
,
0)
(
t
) = 0
, P
(0
,
2)
(0
,
1)
(
t
) = 0
, P
(0
,
2)
(0
,
2)
(
t
) = 1
,
P
(1
,
2)
(0
,
0)
(
t
) =
p
00
p
10
(1
−
2
e
−
λt
+
e
−
2
λt
)
, P
(1
,
2)
(1
,
0)
(
t
) =
p
2
10
(1
−
2
e
−
λt
+
e
−
2
λt
)
,
P
(1
,
2)
(0
,
1)
(
t
) =
p
00
+
p
10
p
01
−
2
p
10
p
01
e
−
λt
−
(
p
00
−
p
10
p
01
)
e
−
2
λt
,
P
(1
,
2)
(1
,
1)
(
t
) = 2
p
10
(
e
−
λt
−
e
−
2
λt
)
, P
(1
,
2)
(0
,
2)
(
t
) =
p
01
(1
−
e
−
2
λt
)
, P
(1
,
2)
(1
,
2)
(
t
) =
e
−
2
λt
.
Вероятностная модель бимолекулярной реакции.
Рассмотрим
однородный во времени марковский процесс
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
)
, ξ
3
(
t
))
,
t
2
[0
,
∞
)
, на множестве состояний
N
3
=
{
(
α
1
, α
2
, α
3
)
, α
1
, α
2
, α
3
=
= 0
,
1
, . . .
}
. Пусть переходные вероятности
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
β
1
,β
2
,β
3
)
(
t
)
представимы
при
t
→
0+
в виде [2] (
λ >
0
)
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
α
1
−
1
,α
2
−
1
,α
3
+1)
(
t
) =
α
1
α
2
λt
+
o
(
t
)
,
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
t
) = 1
−
α
1
α
2
λt
+
o
(
t
)
.
(28)
С помощью производящей функции (
|
s
1
| ≤
1
,
|
s
2
| ≤
1
,
|
s
3
| ≤
1
)
F
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
t
;
s
1
, s
2
, s
3
) =
∞
X
β
1
,β
2
,β
3
=0
P
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
β
1
,β
2
,β
3
)
(
t
)
s
β
1
1
s
β
2
2
s
β
3
3
,
вторая система дифференциальных уравнений для переходных веро-
ятностей процесса записывается в виде [21]
∂F
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
t
;
s
1
, s
2
, s
3
)
∂t
=
λ
(
s
3
−
s
1
s
2
)
∂
2
F
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(
t
;
s
1
, s
2
, s
3
)
∂s
1
∂s
2
,
(29)
с начальным условием
F
(
α
1
,α
2
,α
3
)
(0;
s
1
, s
2
) =
s
α
1
1
s
α
2
2
s
α
3
3
.
В состоянии
(
α
1
, α
2
, α
3
)
марковский процесс находится случай-
ное время
τ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
,
P
{
τ
(
α
1
,α
2
,α
3
)
≤
t
}
= 1
−
e
−
α
1
α
2
λt
, и затем пе-
реходит в состояние
(
α
1
−
1
, α
2
−
1
, α
3
+ 1)
. Реализация процесса
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
