МАТЕМАТИКА
УДК 517.925.42
А. Н. К а н а т н и к о в
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ КОМПАКТОВ
ПРТ-СИСТЕМЫ
Метод локализации инвариантных компактных множеств авто-
номной динамической системы применяется для исследования ди-
намической системы Пиковского–Рабиновича–Трахтенгерца. В ре-
зультате получено однопараметрическое семейство локализирую-
щих множеств, ограниченных поверхностями 2-го порядка, а так-
же найдено пересечение всех множеств найденного семейства. Ре-
зультаты получены для всех значений параметров системы.
Динамическая система Пиковского–Рабиновича–Трахтенгерца (ПРТ-
система)
˙
x
=
−
ν
1
x
+
βy
−
yz,
˙
y
=
βx
−
ν
2
y
+
xz,
˙
z
=
−
ν
3
z
+
xy,
где
ν
1
,
ν
2
,
ν
3
,
β
— положительные числовые параметры, была получена
как модель волновых процессов, протекающих в плазме [1, 5]. Эта
система имеет стационарную точку
x
=
y
=
z
= 0
, а при
β >
√
ν
1
ν
2
у
нее появляются еще две стационарные точки:
x
=
±
r
ν
3
ν
1
p
β
2
−
ν
1
ν
2
β
−
p
β
2
−
ν
1
ν
2
,
y
=
±
r
ν
3
ν
2
p
β
2
−
ν
1
ν
2
β
+
p
β
2
−
ν
1
ν
2
,
z
=
p
β
2
−
ν
1
ν
2
.
При
β
2
< ν
1
ν
2
нулевая стационарная точка является асимптотиче-
ски (даже экспоненциально) устойчивой. Устойчивость теряется при
появлении двух дополнительных стационарных точек. Наличие трех
точек покоя приводит к сложному поведению системы, возникает ха-
отическое движение. Это приводит к задаче локализации возможных
периодических траекторий и других инвариантных компактных мно-
жеств.
Для оценки положения инвариантных компактов используют раз-
ные методы (включая меоды оценки положения хаотических аттрак-
торов) [2]–[6]. Один из методов, предложенный А.П. Крищенко [4],
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
3
