венствам, описывающим множество
Ω
(
−
1
,
0)
в случае
ν
1
≥
ν
2
,
ν
2
< ν
3
:
y
2
≥
(
g
2
(
ρ
1
, x, z
)
,
(4
−
3
ρ
1
)
β
2
≤
x
2
+ (
z
−
β
)
2
≤
ρ
1
β
2
;
(
z
+
β
)
2
−
ρ
1
β
2
,
x
2
+ (
z
−
β
)
2
<
(4
−
3
ρ
1
)
β
2
,
(14)
где
g
2
(
ρ
1
, x, z
) = 4
β
2
(
ρ
1
−
1)
−
x
2
+4
βz
−
4
β
p
(
ρ
1
−
1)[
β
2
ρ
1
−
x
2
−
(
z
−
β
)
2
]
.
Локализующее множество при
q
=
−
1
−
.
В этом случае в выраже-
ниях (4) и (5) полагаем
q
=
−
1
,
z
−
γ
=
Z
и приходим к задаче поиска
точных верхней и нижней граней функции
p
(
X, Z
) =
μ
3
Z
2
−
2
γZ
+ (2
−
μ
3
)
γ
2
на множестве
|
Z
| ≥
γ
. Результаты зависят от знака
μ
3
. При
μ
3
>
0
(т.е.
ν
2
> ν
3
) имеем
p
sup
= +
∞
, а
p
inf
— глобальный минимум функции,
равный
4
τ
2
γ
2
. При этом локализующее множество имеет вид
Ω
−
1
:
y
2
≤
(
z
+
β
)
2
−
τ
2
β
2
.
(15)
При
μ
3
= 0
(т.е.
ν
2
=
ν
3
)
p
(
X, Z
) = 2
γ
(
γ
−
Z
)
— линейная функция,
рассматриваемая на множестве
|
Z
| ≥
γ
. Значит,
p
inf
=
−∞
,
p
sup
= +
+
∞
, а локализующее множество тривиально и совпадает с
R
3
.
Наконец, при
μ
3
<
0
(т.е.
ν
2
< ν
3
) имеем
p
inf
=
−∞
,
p
sup
= 4
ρ
2
γ
2
,
где
ρ
2
=
τ
2
, ν
2
≥
ν
3
2
;
1
, ν
2
<
ν
3
2
,
(16)
а локализующее множество имеет вид
Ω
−
1
:
y
2
≥
(
z
+
β
)
2
−
ρ
2
β
2
.
(17)
Локализующие множества при
q <
−
1
.
В этом случае в выра-
жениях (4) и (5) выполняем замену переменных
−
p
|
q
+ 1
|
x
=
X
,
z
−
γ
=
Z
и приходим к задаче поиска точных верхней и нижней
граней функции
p
(
X, Z
) =
−
μ
1
X
2
+
μ
3
Z
2
−
2
γZ
+ (2
−
μ
3
)
γ
2
,
где
μ
1
= 1
−
ν
1
/ν
2
,
μ
3
= 1
−
ν
3
/ν
2
, на множестве
−
ν
1
X
2
+
ν
3
Z
2
≥
ν
3
γ
2
.
Здесь, как и выше, следует рассмотреть различные сочетания знаков
коэффициентов
μ
1
и
μ
3
.
Если
μ
3
= 0
(т.е.
ν
2
=
ν
3
), то функция
p
(
X, Z
)
линейна по
Z
,
значение
p
sup
= +
∞
достигается при
X
= 0
,
Z
→
+
∞
, а значе-
ние
p
inf
=
−∞
— на границе области (т.е. на множестве
−
ν
1
X
2
+
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
