Это эквивалентно следующему ограничению на
B
сверху:
B
≤
(
√
4
AC,
0
≤
C
≤
A
;
A
+
C, C
≥
A.
(11)
Используя условия (11) применительно к (10), получим неравен-
ства, описывающие пересечение
Ω
(
−
1
,
0)
множеств
Ω
q
,
−
1
< q <
0
, в
случае
ν
1
≤
ν
2
,
ν
2
> ν
3
:
y
2
≤
(
g
1
(
τ
2
, x, z
)
,
x
2
+ (
z
−
β
)
2
≤
(4
−
3
τ
2
)
β
2
;
(
z
+
β
)
2
−
τ
2
β
2
, x
2
+ (
z
−
β
)
2
>
(4
−
3
τ
2
)
β
2
.
(12)
где
g
1
(
τ
2
, x, z
) = 4
β
p
(1
−
τ
2
)[
x
2
+ (
z
−
β
)
2
−
τ
2
β
2
]
−
x
2
+4
βz
−
4
β
2
(1
−
τ
2
)
.
В случае
μ
1
≤
0
,
μ
3
<
0
(т.е.
ν
1
≥
ν
2
,
ν
2
< ν
3
) квадратичная форма в
представлении функции
p
(
X, Z
)
отрицательно определена (полуопре-
делена). Поэтому
p
inf
=
−∞
, а максимальное значение конечно. При
μ
3
≥ −
1
(т.е. при
ν
2
≥
ν
3
/
2
) точка глобального максимума
X
= 0
,
Z
=
γ/μ
3
попадает в область
G
q
и
p
sup
= 4
τ
2
γ
2
. Рассмотрим случай
μ
3
<
−
1
(т.е.
ν
2
< ν
3
/
2
). В этом случае максимум функции достигает-
ся на границе области, т.е. при
ν
1
X
2
+
ν
3
Z
2
=
ν
3
γ
2
. Выразив из этого
уравнения
X
2
и подставив в выражение для функции, придем к задаче
поиска максимума функции
σZ
2
−
2
γZ
+ (2
−
σ
)
γ
2
, где
σ
= 1
−
ν
3
/ν
1
,
при
|
Z
| ≤
γ
. На концах отрезка функция имеет значения
0
и
4
γ
2
. Ста-
ционарная точка
Z
=
γ/σ
попадает на отрезок
|
Z
| ≤
γ
при
|
σ
| ≥
1
,
что равносильно
σ
≤ −
1
, или
ν
1
≤
ν
3
2
. Таким образом, если
ν
1
≥
ν
2
,
ν
2
< ν
3
, то
p
sup
= 4
ρ
1
γ
2
, где
ρ
1
=
τ
2
=
ν
2
3
4
ν
2
(
ν
3
−
ν
2
)
,
ν
2
≥
ν
3
2
;
1
,
ν
1
≥
ν
3
2
, ν
2
<
ν
3
2
;
τ
1
=
ν
2
3
4
ν
1
(
ν
3
−
ν
1
)
, ν
1
<
ν
3
2
, ν
2
<
ν
3
2
,
а локализующие множества имеют вид
Ω
q
: (
q
+ 1)
x
2
+
qy
2
+
z
−
β
(2
q
+ 1)
2
≤
ρ
1
β
2
(2
q
+ 1)
2
,
−
1
< q <
0
.
(13)
Чтобы найти пересечение семейства множеств (13), как и выше,
собираем коэффициенты при
q
, сводя неравенство к квадратному отно-
сительно
q
, и используем условия (11). В результате приходим к нера-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
9
