1) минимум параболической функции распроложен выше оси абс-
цисс (первое условие);
2) минимум параболической функции расположен левее
α
и значе-
ние функции в точке
α
неотрицательно (вторая группа условий);
3) минимум параболической функции расположен правее
β
и зна-
чение функции в точке
β
неотрицательно (третья группа условий).
Отметим также, что минимум квадратного трехчлена находится
левее
α
(правее
β
), если его производная в точке
α
(точке
β
) положи-
тельна (отрицательна).
Остается рассмотреть особый случай
A
= 0
. Но легко убедиться
в том, что записанные условия справедливы и в этом случае: линей-
ная функция на интервале
(
α, β
)
неотрицательна, если либо значения
функции и ее производной в точке
α
неотрицательны, либо значение
функции в точке
β
неотрицательно, а значение производной в той же
точке неположительно. Теорема доказана.
Приведенная теорема позволяет построить пересечение семейства
локализующих множеств (1). Все слагаемые в неравенстве (1) перене-
сем в левую часть и сгруппируем по степеням
q
:
4
β
2
(
ρ
−
1)
q
2
+ 4
β
2
(
ρ
−
1)
−
x
2
−
y
2
+4
βz q
+
β
2
ρ
−
x
2
−
(
z
−
β
)
2
≥
0
.
Необходимо определить те тройки
x
,
y
,
z
, при которых полученное
неравенство, квадратное относительно
q
, верно для всех
q >
0
. В
соответствии с
теоремой 1
переменные
x
,
y
,
z
должны удовлетворять
условию
B
2
≤
4
AC
или паре условий
C
≥
0
,
B
≥
0
, где
A
= 4
β
2
(
ρ
−
1)
≥
0
, B
= 4
β
2
ρ
−
x
2
−
y
2
+4
βz, C
=
β
2
ρ
−
x
2
−
(
z
−
β
)
2
.
Эти условия сводятся к двум:
C
≥
0
,
B
≥ − √
4
AC
. В результате
пересечением семейства множеств (1) является множество
Ω
(0
,
+
∞
)
,
описываемое системой неравенств
x
2
+ (
z
−
β
)
2
≤
β
2
ρ,
y
2
≤
4
β
p
(
ρ
−
1)[
β
2
ρ
−
x
2
−
(
z
−
β
)
2
]
−
x
2
+ 4
βz
+ 4
β
2
(
ρ
−
1)
.
(2)
Локализующее множество в случае
q
= 0
.
В этом случае по-
строение локализующего множества сводится к исследованию на
экстремум функции
p
(
x, y, z
) =
x
2
+ (
z
−
β
)
2
на множестве
ν
1
x
2
+
+
ν
3
(
z
−
γ
)
2
=
ν
3
γ
2
, где
γ
=
β/
2
. С некоторыми упрощениями по-
вторяются те же выкладки, что и при
q >
0
. Наименьшее значение
p
inf
= 0
достигается в точке глобального минимума, а
p
sup
= 4
ρ
0
γ
2
,
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
