достигает наименьшего значения при
Z
=
γ/σ
и
p
inf
= 4
τ
1
γ
2
, где
τ
1
=
ν
2
3
γ
2
ν
1
(
ν
3
−
ν
1
)
. Итак, при
ν
1
≤
ν
3
< ν
2
имеем
Ω
q
=
R
3
,
q <
−
1
; при
ν
3
< ν
1
< ν
2
имеем
p
inf
= 4
τ
1
γ
2
и локализующее множество
Ω
q
: (
q
+ 1)
x
2
+
qy
2
+
z
−
β
(2
q
+ 1)
2
≥
τ
1
β
2
(2
q
+ 1)
2
.
(22)
Рассуждая, как и в случае семейства (19), для семейства (22) полу-
чаем неравенства, описывающие пересечение
Ω
(
−∞
,
−
1)
:
y
2
≤
(
(
z
+
β
)
2
−
τ
1
β
2
, x
2
+ (
z
−
β
)
2
≤
(4
−
3
τ
1
)
β
2
;
g
1
(
τ
1
, x, z
)
,
x
2
+ (
z
−
β
)
2
>
(4
−
3
τ
1
)
β
2
,
(23)
где
g
1
(
τ
1
, x, z
) = 4
β
p
(1
−
τ
1
)[
x
2
+ (
z
−
β
)
2
−
τ
1
β
2
]
−
x
2
+4
βz
−
4
β
2
(1
−
τ
1
)
.
Случай
μ
1
≥
0
,
μ
3
<
0
(т.е.
ν
1
≤
ν
2
< ν
3
) аналогичен случаю
μ
1
≤
0
,
μ
3
>
0
: исследуется диапазон значений многочлена с отри-
цательно определенной квадратичной формой в замкнутой области,
ограниченной гиперболой. При этом значение
p
inf
=
−∞
достигается
при
X
= 0
и
Z
→
+
∞
, а
p
sup
достигается при
X
= 0
как максимум
μ
3
Z
2
−
2
γZ
+ (2
−
μ
3
)
γ
2
при
|
Z
| ≥
γ
. При
μ
3
≥ −
1
(т.е.
ν
2
≤
ν
3
/
2
)
это — глобальный максимум, равный
4
τ
2
γ
2
, а при
μ
3
<
−
1
максимум
достигается при
Z
=
−
γ
и равен
4
γ
2
. Таким образом, в этом случае
p
sup
= 4
ρ
2
γ
2
, где
ρ
2
определяется равенством (16). Мы приходим к
локализующим множествам
Ω
q
: (
q
+ 1)
x
2
+
qy
2
+
z
−
β
(2
q
+ 1)
2
≤
ρ
2
β
2
(2
q
+ 1)
2
.
(24)
С помощью соотношений (20) получаем неравенства, описывающие
пересечение
Ω
(
−∞
,
−
1)
семейства (24):
y
2
≥
(
g
2
(
ρ
2
, x, z
)
,
x
2
+ (
z
−
β
)
2
≤
(4
−
3
ρ
2
)
β
2
;
(
z
+
β
)
2
−
ρ
2
β
2
, x
2
+ (
z
−
β
)
2
>
(4
−
3
ρ
2
)
β
2
,
(25)
где
g
2
(
ρ
2
, x, z
) = 4
β
2
(
ρ
2
−
1)
−
x
2
+4
βz
−
4
β
p
(
ρ
2
−
1)[
ρ
2
β
2
−
x
2
−
(
z
−
β
)
2
]
.
При
μ
1
<
0
,
μ
3
<
0
(т.е.
ν
1
> ν
2
,
ν
2
< ν
3
) функция
p
(
X, Z
)
имеет
p
inf
=
−∞
, достигаемый при
X
= 0
и
Z
→ ∞
. Значение
p
sup
достига-
ется на границе области, и мы приходим к исследованию на максимум
функции
σZ
2
−
2
γZ
+ (2
−
σ
)
γ
2
, где
σ
= 1
−
ν
3
ν
1
, при
|
Z
| ≥
γ
. Если
σ <
0
(т.е.
ν
1
< ν
3
) точная верхняя грань достигается в конечной
точке. При этом, если
σ
≥ −
1
(т.е.
ν
1
≥
ν
3
/
2
), то точка максимума
Z
=
−
γ/σ
и
p
sup
= 4
τ
1
γ
2
, а если
σ <
−
1
, то максимум достигает-
ся при
Z
=
−
γ
и равен
4
γ
2
. Если
σ
≥
0
(т.е.
ν
1
≥
ν
3
), то
p
sup
=
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
