То же будет в случае, когда
μ
1
<
0
,
μ
3
>
0
(т.е.
ν
1
> ν
2
,
ν
2
> ν
3
) или
μ
1
>
0
,
μ
3
<
0
(т.е.
ν
1
< ν
2
,
ν
2
< ν
3
). При
μ
3
= 0
рассмотрим значение
q
=
−
1
/
2
. При этом значении
γ
= 0
, и мы приходим к исследованию
функции
p
(
X, Z
) =
μ
1
X
2
на всем множестве
R
2
. При
μ
1
>
0
(т.е.
ν
1
< ν
2
) имеем
p
inf
= 0
,
p
sup
= +
∞
и локализующее множество
Ω
−
1
/
2
:
x
2
−
y
2
+ 2
z
2
≥
0
.
(6)
При
μ
1
<
0
(т.е.
ν
1
> ν
2
) имеем
p
inf
=
−∞
,
p
sup
= 0
и локализующее
множество
Ω
−
1
/
2
:
x
2
−
y
2
+ 2
z
2
≤
0
.
(7)
Наконец, при
μ
1
= 0
, т.е. в случае
ν
1
=
ν
2
=
ν
3
,
p
(
X, Z
)
≡
0
, и мы
приходим к вырожденному локализующему множеству
Ω
−
1
/
2
:
x
2
−
y
2
+ 2
z
2
= 0
.
(8)
Рассмотрим случай
μ
1
≥
0
,
μ
3
>
0
(т.е.
ν
1
≤
ν
2
,
ν
2
> ν
3
). В этом
случае квадратичная функция имеет положительно определенную (по-
луопределенную) квадратичную форму и для нее
p
sup
= +
∞
. Точка
глобального минимума квадратичной функции
X
= 0
,
Z
=
γ/μ
3
при
|
μ
3
| ≤
1
, в частности при
μ
3
>
0
, попадает в область исследования
G
q
,
и
p
inf
совпадает с глобальным минимумом функции, равным
p
inf
=
−
(1
−
μ
3
)
2
μ
3
γ
2
=
−
ν
2
3
γ
2
ν
2
(
ν
2
−
ν
3
)
= 4
τ
2
γ
2
,
где
τ
2
=
ν
2
3
4
ν
2
(
ν
3
−
ν
2
)
<
0
. Мы имеем локализующие множества
Ω
q
: (
q
+1)
x
2
+
qy
2
+
z
−
β
(2
q
+1)
2
≥
τ
2
β
2
(2
q
+1)
2
,
−
1
< q <
0
.
(9)
Чтобы найти пересечение семейства множеств (9), как и ранее,
собираем коэффициенты при
q
, сводя неравенство к квадратному от-
носительно
q
, с положительным коэффициентом при
q
2
:
4
β
2
(1
−
τ
2
)
q
2
+ 4
β
2
(1
−
τ
2
) +
x
2
+
y
2
−
4
βz q
+
+
−
β
2
τ
2
+
x
2
+ (
z
−
β
)
2
≥
0
,
−
1
< q <
0
.
(10)
Согласно
теореме 1
, для выполнения неравенства
Ax
2
+
Bx
+
+
C
≥
0
на интервале
(
−
1
,
0)
необходимо и достаточно какого-либо
из трех условий:
1)
B
2
≤
4
AC
; 2)
(
C
≥
0
,
B
≤
0;
3)
(
A
−
B
+
C
≥
0
,
−
2
A
+
B
≥
0
.
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
