среди других выделяется тем, что практически не использует геоме-
трических соображений и сводится к алгебраическим вычислениям.
Суть его в следующем.
Для автономной динамической системы
˙
x
=
f
(
x
)
выбирается
какая-либо гладкая функция
ϕ
(локализирующая функция), определен-
ная на фазовом пространстве
M
динамической системы, вычисляется
ее производная
L
f
ϕ
в силу системы (производная Ли по векторному
полю, соответствующему динамической системе) и строится множе-
ство
S
ϕ
=
{
x
2
M
:
L
f
ϕ
(
x
) = 0
}
(универсальное сечение).
Пусть
ϕ
inf
и
ϕ
sup
— точная нижняя и точная верхняя грани функции
ϕ
на множестве
S
ϕ
. Тогда все инвариантные компакты динамической
системы принадлежат множеству
Ω
ϕ
=
{
x
2
M
:
ϕ
inf
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
sup
}
.
Этот метод, основанный на элементарных соображениях, может
быть развит в различных направлениях. Например, можно выбрать
некоторое семейство функций
ϕ
α
и для каждой функции
ϕ
α
постро-
ить свое локализирующее множество
Ω
ϕ
α
. Тогда все инвариантные
компактные множества будут содержаться в пересечении
Ω =
∩
α
Ω
ϕ
α
.
Здесь удобно выбирать семейства, непрерывно зависящие от пара-
метра, например однопараметрические семейства
ϕ
(
x, α
)
. Для таких
семейств имеются эффективные процедуры построения пересечения
семейства множеств.
Для локализации инвариантных компактов ПРТ-системы будем
рассматривать квадратичную функцию вида
p
(
x, y, z
) = (
q
+ 1)
x
2
+
qy
2
+
z
−
β
(2
q
+ 1)
2
,
где
q
2
R
— произвольный параметр.
Вычисляя производную Ли
L
f
p
этой функции и приравнивая к
нулю, получим множество
S
p
точек контакта, которое описывается
уравнением
S
p
: (
q
+ 1)
ν
1
x
2
+
qν
2
y
2
+
ν
3
(
z
−
γ
)
2
=
ν
3
γ
2
,
где
γ
=
β q
+
1
2
.
В результате мы приходим к задаче определения точной нижней
p
inf
и точной верхней
p
sup
граней функции
p
(
x, y, z
) = (
q
+ 1)
x
2
+
qy
2
+ (
z
−
2
γ
)
2
при наличии уравнения связи
(
q
+ 1)
ν
1
x
2
+
qν
2
y
2
+
ν
3
(
z
−
γ
)
2
=
ν
3
γ
2
.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
